disuguaglianza di Ghebyshev

Sia $X$ una variabile aleatoria con media $\mathbb{E}(X)$ e varianza $\text{Var}(X)$. Allora $\forall \lambda >0$

$$\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)|\ge \lambda )\le \frac{\text{Var}(X)}{{\lambda }^2}$$

Dimostrazione: come ricavarla dalla disuguaglianza di Markov

$$\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)|\ge \lambda )=\mathbb{P}((X-\mathbb{E}(X){)}^2\ge {\lambda }^2)$$

Cambio di variabile $(X-\mathbb{E}(X){)}^2=Y$

$$\mathbb{P}(Y\ge {\lambda }^2)\underset{\text{Markov}}{\le }\frac{\mathbb{E}(Y)}{{\lambda }^2}=\frac{\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X){)}^2)}{{\lambda }^2}=\frac{\text{Var}(X)}{{\lambda }^2}$$

Esempio con lanci ripetuti di moneta

Lancio ripetutamente una moneta con probabilità di testa $p\in (0,1)$.

Definiamo la variabile aleatoria indicatrice $X_K=1(T\text{al lancio}K),k\ge 1$.

Allora le $X_K$ sono variabili indipendenti $\text{Bernoulli}(p)$.

Sia la media campionaria

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\cdot \sum _{k=1}^n{X}_K=\frac{\text{numero di T nei primi n lanci}}{n}=\text{proporzioni di T nei primi n lanci}$$

N.B.: La varianza decresce all’aumentare del numero di lanci.

Caso particolare, moneta equa ($p=\frac{1}{2}$)

In questo caso

$$\mathbb{E}(\overline{X})=p=\frac{1}{2},\text{Var}(\overline{X})=\frac{p(1-p)}{n}=\frac{1}{4n}$$

Mettiamo $\lambda =0.1$

$$\mathbb{P}\left(|\overline{X}-\frac{1}{2}|\ge 0.1\right)\le \frac{\text{Var}(\overline{X})}{(0.1{)}^2}=\frac{\frac{1}{4n}}{(0.1{)}^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{4\cdot 0.01}(\underset{n\to 0}{\lim }=0)$$

Più lanci faccio, più è meno probabile che la proporzione tra teste e croci sia lontana da $\frac{1}{2}$ (la varianza tende a 0).