formulario completo del calcolo differenziale

$E\subseteq \mathbb{N}$

$M$ si dice maggiorante di $E$ se $M\ge N\forall N\in E$

$E\subseteq \mathbb{N}$

$m$ si dice minorante di $E$ se $m\ge n\forall n\in E$

Gerarchia degli infiniti

$lo{g}_x\le x^a\le a^x(a<1)\le x!\le x^x$ (quello prima fa r’cucchiaio a quello dopo) cit. Orsina

Forme indeterminate

$\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $0\bullet \infty$, $\infty -\infty$, $0^0$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$

De l’Hopital

${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0;\pm \infty \to {\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Limiti notevoli

Limiti notevoli per $x\to 0$

Trigonometria

• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\arccos x}{x}=+\infty$

Logaritmi ed esponenziali

• ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{k^x-1}{x}=\ln k$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• • ${\lim }_{x\to 0}\frac{\log (1+x)}{x}=\frac{1}{\ln k}$
• ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$
• ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{k}{x}}=e^k$

Limiti notevoli per $x\to \infty$

• Limite di un rapporto → usare la gerarchia degli infiniti per vedere se $\lim =0;\pm \infty ;L$.

Stirling

${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n!}{n^n{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}}=1\to n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

Trigonometria

• ${\lim }_{x\to \pm \infty }\arctan x=\mp \pi /2$

Logaritmi ed esponenziali

• ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$
• ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{k}{x}\right)}^x=e^k$

Serie di Taylor

$f(x)=f(a)+f^{{}^{\prime }}(a)(x-a)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots$

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5)$
• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+o(x^9)$
• $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+o(x^8)$
• $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+o(x^9)$
• $\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\frac{5x^7}{112}+o(x^9),|x|<1$
• $\arccos x=\frac{\pi }{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\frac{5x^7}{112}+o(x^9),|x|<1$
• $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+o(x^9),|x|<1$
• $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^5),|x|<1$
• $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+o(x^5),|x|<1$
• $(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}{x}^3+o(x^4),|x|<1$

Non si possono calcolare i polinomi di Taylor di grado superiore alla funzione di partenza, infatti l’ordine dell’o piccolo determina l’ordine del polinomio di Taylor più adatto ad approssimare la funzione.

algebra degli o-piccolo

• Moltiplicazione per una costante (la costante è trascurabile): $o(c\bullet g(x))=o(g(x))\text{ per }x\to x_0$ $c\bullet o(g(x))=o(g(x))\text{ per }x\to x_0$
• Potenza di una funzione (stabilità dell’$o$ all’applicazione della potenza): $\text{ Se }f(x)=o(g(x))\text{ per }x\to x_0$ $\text{ Allora }[f(x){]}^a=o([g(x){]}^a)\text{ per }a>0$
• Somma tra o-piccolo $o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))\text{ per }x\to x_0$
• Prodotto tra una funzione e un o-piccolo $f(x)\bullet o(g(x))=o(f(x)g(x))\text{ per }x\to x_0$
• O-piccolo di o-piccolo $o(o(f(x)))=o(f(x))\text{ per }x\to x_0$

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Derivate

Regole di derivazione

• $\frac{d}{dx}\left(f(x)\pm g(x)\right)=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$.
• $\frac{d}{dx}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$.
• $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$.
• $\frac{d}{dx}\left(f(g(x))\right)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$.
• $\frac{d}{dx}\left(f(x{)}^{g(x)}\right)=f(x{)}^{g(x)}\cdot \left(g^{\prime }(x)\ln (f(x))+\frac{g(x)\cdot f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

Derivate prime

• $\frac{d}{dx}(c)=0$, dove $c$ è una costante.
• $\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=n{x}^{n-1}$
• $\frac{d}{dx}\left(\sin x\right)=\cos x$
• $\frac{d}{dx}\left(\cos x\right)=-\sin x$
• $\frac{d}{dx}\left(\tan x\right)={\sec }^{2}x$
• $\frac{d}{dx}(\cot x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
• $\frac{d}{dx}\left(\arcsin x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}\left(\arccos x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}\left(\arctan x\right)=\frac{1}{1+x^2}$
• $\frac{d}{dx}\left(arccotx\right)=-\frac{1}{1+x^2}$
• $\frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x$
• $\frac{d}{dx}\left(a^x\right)=a^x\cdot \ln a$, dove $a$ è una costante positiva.
• $\frac{d}{dx}\left(\ln x\right)=\frac{1}{x}$, per $x>0$.
• $\frac{d}{dx}\left(\ln (1+x)\right)=\frac{1}{1+x}$
• $\frac{d}{dx}\left({\log }_{b}x\right)=\frac{1}{x}\bullet {\log }_{a}e$ oppure $\frac{1}{x\bullet \ln a}$
• $\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\frac{d}{dx}\left((1+x{)}^a\right)=a(1+x{)}^{a-1}$
• $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$

Teoremi su derivate e funzioni

teorema degli zeri

Se:

• $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua
• $f(a)\bullet f(b)<0$

Allora $\exists c\in (a,b)|f(c)=0$

teorema dei valori intermedi

Data $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua. La funzione assume tutti i valori tra $f(a)$ e $f(b)$ (e quindi anche tra i massimi e i minimi)

teorema di Weierstrass

Data $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua, allora $f(x)$ ammette (almeno) un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell’intervallo $[a,b]$.