EDO lineari del primo ordine

Queste EDO lineari contengono solo la derivata di primo ordine; per classificarle si fa riferimento ai coefficienti della funzione e della derivata, che possono essere costanti o variabili, e alla loro omogeneità o non omogeneità.

Per questo esistono 4 categorie:

Categorie di EDO lineari del primo ordine

	omogenee	non omogenee
costanti	EDO Lineari del primo ordine omogenee a coefficienti costanti:$y^{\prime }(t)+ay(t)=0$	EDO Lineari del primo ordine non omogenee a coefficienti costanti:$y^{\prime }(t)+ay(t)=f(t)$
variabili	EDO Lineari del primo ordine omogenee a coefficienti variabili:$y^{\prime }(t)+a(t)y(t)=0$	EDO Lineari del primo ordine non omogenee a coefficienti variabili:$y^{\prime }(t)+a(t)y(t)=f(t)$

la variabile indipendente è stata chiamata $t$ in riferimento al tempo

Trovare le soluzioni delle EDO lineari del primo ordine

Le non omogenee del primo ordine a coefficienti variabili “includono” tutte le altre EDO lineari del primo ordine, perché anche un coefficiente costante si può modellare con una funzione costante $a(t)=b\forall b\in \mathbb{R}$ e anche un’equazione omogenea può essere modellata da una (finta) non omogenea in cui $f(t)=0\forall c\in \mathbb{R}$.

Questo è la dimostrazione che risolvendo questo tipo più complesso di EDO lineari del primo ordine, si può ricavare la soluzione anche di tutte le altre.

$y^{\prime }(t)+a(t)y(t)=f(t)$

1. Sia $A(t)$ una primitiva di $a(t)$ (NON $a(t)$ stesso!): moltiplichiamo tutti e due i lati dell’equazione per $e^{A(t)}$ (detto fattore integrante)

$e^{A(t)}\left(y^{\prime }(t)+a(t)y(t)\right)=e^{A(t)}f(t)$

2. Distribuiamo $e^{A(t)}$ $y^{\prime }(t)e^{A(t)}+a(t)y(t)e^{A(t)}=e^{A(t)}f(t)$

3. Riconosciamo il primo membro dell’equazione come la derivata di $e^{A(t)}y(t)$: il fattore integrante per la funzione incognita. $\frac{d}{dt}(e^{A(t)}y(t))=e^{A(t)}f(t)$

4. Integriamo entrambi i lati dell’equazione $\int \frac{d}{ds}(e^{A(s)}y(s))ds=\int e^{A(s)}f(s)ds+c$

5. Semplifichiamo il primo membro $e^{A(t)}y(t)=\int e^{A(s)}f(s)ds+c$

6. Dividiamo da entrambi i lati per $e^{A(t)}$, trovando la soluzione $y(t)=\frac{\int e^{A(t)}f(t)ds}{e^{A(t)}}+\frac{c}{e^{A(t)}}$

7. Riscriviamo la soluzione: $y(t)=\int e^{A(t)-A(s)}f(t)ds+c\cdot e^{-A(t)}$

8. Assumiamo che l’integrale sia calcolato tra due estremi uguali, quindi faccia zero, da qui possiamo trovare la formula inversa per $c$: $c=y_0{e}^{A(t)}$

Trovare la soluzione delle altre EDO lineari del primo ordine

Espandiamo il ragionamento agli altri 3 tipi di equazione:

• Per le equazioni omogenee possiamo considerare nullo il secondo membro dell’equazione, ciò vuol dire che nella soluzione non apparirà l’integrale.
• Per le equazioni a coefficienti costanti possiamo considerare, nel primo passaggio della dimostrazione, $A(t)$ come una primitiva di $a(t)$, ma dato che $a(t)$ è una costante, una sua primitiva sarà $at$ (la costante arbitraria è trascurabile perché verrà considerata nella soluzione alla fine). Ciò vuol dire che nell’integrale non apparirà $A(t)-A(s)$ ma $at-as$.

Soluzioni per ogni categoria

	omogenee	non omogenee
costanti	$y^{\prime }(t)+ay(t)=0$ $y(t)=c\cdot e^{-at}$	$y^{\prime }(t)+ay(t)=f(t)$ $y(t)=\int e^{a(t-s)}f(t)ds+c\cdot e^{-at}$
variabili	$y^{\prime }(t)+a(t)y(t)=0$ $y(t)=c\cdot e^{-A(t)}$	$y^{\prime }(t)+a(t)y(t)=f(t)$ $y(t)=\int e^{A(t)-A(s)}f(t)ds+c\cdot e^{-A(t)}$