scelta di k elementi da nInformatica Sapienza

	con ripetizione	senza ripetizione
scelte con ordine (disposizioni)	disposizioni con ripetizioni consentite $n^{k}$	disposizioni senza ripetizioni $\frac{n !}{( n - k )!}$
scelte senza ordine (combinazioni)	combinazioni con ripetizioni consentite $\frac{( k + n - 1 )!}{k ! ( n - 1 )!}$	combinazioni senza ripetizioni $\frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Scopriamo come dividere $n = 10$ elementi in 3 gruppi, $G_{1}$ di 3 elementi, $G_{2}$ di 5 elementi e $G_{3}$ di 2 elementi.

Possiamo fare così:

Scegliamo i 3 elementi da mettere in $G_{1}$ , avremo $(3 10)$ modi;
Tra i $n - 3 = 7$ rimanenti, scegliamo 3 elementi da mettere in $G_{2}$ avremo $(5 7)$ modi;
Le restanti ( $2$ ) vanno in $G_{3}$ avremo $(2 2)$ modi.

In totale abbiamo $(3 10) \cdot (5 7) \cdot (2 2) = \frac{10 !}{3 ! \cdot 5 ! \cdot 2 !}$ modi, che si possono scrivere anche come $(3 5 2 10)$ , che è un coefficiente multinomiale.

In generale, i modi per dividere $n$ elementi in $3$ gruppi di $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ elementi ciascuno con $k_{1} + k_{2} + k_{3} = n$ è

(k _{1} n) \cdot (k _{2} n - k _{1}) \cdot (k _{3} n - ( k _{1} + k _{2} )) = (k _{1} k _{2} k _{3} n)

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