legge congiunta e leggi marginali di variabili aleatorie

Legge congiunta

Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie sullo spazio campionario $\Omega$ a valori in $S_X$ e $S_Y$ rispettivamente. La legge congiunta di $X$ e $Y$ è la misura di probabilità sul prodotto cartesiano $S_X\times S_Y=\{(x,y):x\in S_X,y\in S_Y\}$ data dai pesetti $p_{x,y}=\mathbb{P}\underset{\{X=x\}\cap \{Y=y\}}{(X=x,Y=y)}\forall (x,y)\in S_X\times S_Y$.

N.B.: Questa è una legge di probabilità, quindi necessariamente

$$\{\begin{array}{l}{p}_{x,y}\in [0,1]\forall (x,y)\in S_X\times S_Y\\ {\sum }_{(x,y)\in S_X\times S_Y}{p}_{xy}=1\end{array}$$

N.B.: Date due variabili aleatorie $X$ e $Y$ a valori in $S_X\times S_Y$ rispettivamente, se $f:S_X\times S_Y\to \mathbb{R}$ definiamo la media pesata (valore atteso) dei valori di $f$ rispetto alla legge congiunta

$$\mathbb{E}(f(X,Y))=\sum _{(x,y)\in S_X\times S_Y}f(x,y)\cdot \mathbb{P}(X=x,Y=y)$$

In particolare, per $f(x,y)=x\cdot y$

$$\mathbb{E}(X\cdot Y)=\sum _{x\in S_X}\sum _{y\in S_Y}xy\mathbb{P}(X=x,Y=y)$$

Se $X$ e $Y$ sono indipendenti

$$\sum _{x\in S_X}x\cdot \mathbb{P}(X=x)\cdot \sum _{y\in S_Y}y\cdot \mathbb{P}(Y=y)=\mathbb{E}(X)\cdot \mathbb{E}(Y)$$

Esempio: lanciamo due dadi

Sia $X$ il risultato del primo lancio, contenuto in $S_X=\{1,2,3,4,5,6\}$ e sia $Y$ il massimo dei due lanci, contenuto in $S_Y=S_X$.

Scriviamo la legge congiunta di $X$ e $Y$, che è una misura di probabilità su $\{1,2,3,4,5,6{\}}^2$.

Per ogni $(i,j)\in \{1,2,3,4,5,6{\}}^2$ calcoliamo $p_{i,j}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)$

• $p_{1,1}=\mathbb{P}(X=1,Y=1)=\mathbb{P}((1,1))=\frac{1}{36}$
• $p_{1,2}=\mathbb{P}(X=1,Y=2)=\mathbb{P}((1,2))=\frac{1}{36}=p_{1,3}=p_{1,4}=p_{1,5}=p_{1,6}$
• $p_{2,1}=\mathbb{P}(X=2,Y=1)=0=P_{3,1}=P_{4,1}=P_{5,1}=P_{6,1}$
• $p_{3,2}=\mathbb{P}(X=3,Y=2)=0$

$Y/X$	1	2	3	4	5	6
1	$1/36$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
2	$1/36$	$2/36$	$0$	$0$	$0$	$0$
3	$1/36$	$1/36$	$3/36$	$0$	$0$	$0$
4	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$4/36$	$0$	$0$
5	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$5/36$	$0$
6	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$6/36$

Notiamo che $p_{x,y}>0⟺Y\ge X$

È evidente che la somma dei pesetti fa 1.

Leggi marginali

Dalla legge congiunta di $X$ e $Y$ si possono ricavare le leggi marginali delle variabili $X$ e $Y$, tramite le seguenti identità.

$$\mathbb{P}(X=1)\underset{\{X=1\}\cap \Omega =\{x=1\}\cap \left({\bigcup }_{y\in S_Y}\{Y=y\}\right)={\bigcup }_{y\in S_Y}\{X=x\}\cap \{Y=y\}}{=}\sum _{y=1}^6\mathbb{P}(X=1,Y=y)$$ $$\mathbb{P}(Y=1)=\frac{1}{36}$$

$\mathbb{P}(Y=2)=\mathbb{P}(Y=2,X=1)+\mathbb{P}(Y=2,X=1)=\frac{3}{36}$

$$\mathbb{P}(Y=3)=\frac{5}{36},\mathbb{P}(Y=4)=\frac{7}{36},\mathbb{P}(Y=5)=\frac{9}{36},\mathbb{P}(Y=6)=\frac{11}{36}$$

In generale, se $X$ e $Y$ hanno legge congiunta data dai pesetti $(P_{x,y}{)}_{(x,y)\in S_X\times S_Y}$, allora le leggi marginali di $X$ e $Y$ sono date da:

$$p_x=\mathbb{P}(X=x)=\sum _{y\in S_Y}\mathbb{P}(X=\underset{\text{fissata}}{x},Y=y)\forall x\in S_X$$ $$p_y=\mathbb{P}(Y=y)=\sum _{y\in S_Y}\mathbb{P}(X=x,Y=\underset{\text{fissata}}{y})\forall y\in S_Y$$

In generale, dalla legge congiunta di $X$ e $Y$ possiamo ricavare le marginali; ma dalle marginali non si può, senza informazioni aggiuntive, scrivere la legge congiunta.

N.B.: Se $X$ e $Y$ sono indipendenti, la loro legge congiunta è il “prodotto” delle leggi marginali, ossia

$$\forall (x,y)\in S_X\times S_Y\mathbb{P}(X=x,Y=y)=\mathbb{P}(X=x)\cdot \mathbb{P}(Y=y)$$

N.B.: $X$ e $Y$ sono indipendenti, a valori in $S_X$ e $S_Y$ rispettivamente, allora

$$\forall (x,y)\in S_X\times S_Y{p}_{xy}=\mathbb{P}(X=x,Y=y)>0$$

Esempio

Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie con legge congiunta data dai pesetti

$S_Y/S_X$	1	2	3
1	0	1/12	1/12
2	2/12	3/12	0
3	0	1/12	0
4	1/12	1/12	2/12

su

$S_X=\{1,2,3\}$ $S_Y=\{1,2,3,4\}$

Leggi marginali:

• $\mathbb{P}(X)$:

  • $\mathbb{P}(X=1)=p_{1,1}+p_{1,2}+p_{1,3}+p_{1,4}=\frac{3}{12}$
  • $\mathbb{P}(X=2)=p_{2,1}+p_{2,2}+p_{2,3}+p_{2,4}=\frac{6}{12}$
  • $\mathbb{P}(X=3)=p_{3,1}+p_{3,2}+p_{3,3}+p_{3,4}=\frac{3}{12}$

• $\mathbb{P}(Y)$:

  • $\mathbb{P}(Y=1)=p_{1,1}+p_{2,1}+p_{3,1}=\frac{2}{12}$
  • $\mathbb{P}(Y=2)=p_{1,2}+p_{2,2}+p_{3,2}=\frac{5}{12}$
  • $\mathbb{P}(Y=3)=p_{1,3}+p_{2,3}+p_{3,3}=\frac{1}{12}$
  • $\mathbb{P}(Y=4)=p_{1,4}+p_{2,4}+p_{3,4}=\frac{4}{12}$

Esempi di eventi di natura “geometrica” calcolati nel “piano discreto” della la legge congiunta dei pesetti:

• $\mathbb{P}(X+Y=4)=\mathbb{P}(\{(x,y):x+y\})=\mathbb{P}(\{(1,3),(2,2),(3,1)\})=0+\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ (retta)
• $\mathbb{P}((X-2{)}^2+(Y-1{)}^2\le 1)=p_{1,1}+p_{2,1}+p_{3,1}+p_{2,2}=\frac{5}{12}$ (cerchio)