legge dei grandi numeri

Se $X_1,X_2,X_3,\dots$ sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (cioè con stessa legge) con media e varianza finite.

Legge debole dei grandi numeri

$$\forall \lambda >0\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_K-\mathbb{E}(X)\right|\ge \lambda \right)=0$$

Si dimostra con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Dimostrazione

$$\forall \lambda >0\mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_K-\mathbb{E}(X)\right|\ge \lambda \right)\equiv \mathbb{P}\left({\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_K-\mathbb{E}(X)\right)}^2\ge {\lambda }^2\right)=\ast$$ $$\ast \stackrel{\text{Markov}}{\le }\frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{X}_k-\mathbb{E}(X){)}^2\right)}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}\text{Var}\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k\right)=\frac{1}{{\lambda }^2}\cdot \frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n\text{Var}(X_k)\to \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\text{Var}(X_k)}{{\lambda }^{2}n}=0$$

$\square$

Cosa posso dire su ${\sum }_{k=1}^n{X}_k-\mu n$? teorema del limite centrale

Legge forte dei grandi numeri

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k\right)=\mu$$