corrispondenza

Una corrispondenza è una tripla $f=(X,Y,\Gamma )$ ($X$ = dominio, $Y$ = codominio, $\Gamma$ = grafo da $X$ a $Y$ dove ogni elemento di $X$ può essere mappato a un solo elemento di $Y$. È un sinonimo di funzione.

Esempio:

• $X=\{1,2,3\}$
• $Y=\{x,y\}$
• $f=(X,Y,\Gamma )$
• $\Gamma =\{(1,x)\}$

Questa corrispondenza non può essere un’applicazione perché non ha tutti gli elementi di $X$.

• $\Gamma =\{(1,x),(2,y),(3,y),(1,y)\}$

Questa non è una corrispondenza perché $1$ è mappato a più di un elemento.

Terminologia:

Il codominio si chiama anche insieme immagine

Il dominio si chiama anche insieme di partenza

Sia $f:X\to Y$ un’applicazione. $\varnothing \ne X^{\prime }\subseteq X$ si definisce $f(X^{\prime })=\{y\in Y:\exists x\in X^{\prime }\text{con}f(x)=y\}$ si chiama l’immagine di $X^{\prime }$ per $f$.

se $X^{\prime }=X$ si parla di immagine di $f$.

Esempio: insieme immagine $\subseteq$ insieme di partenza

$X^{\prime }=\{1,2\}$

$f(X^{\prime })=f\{1,2,3\}=\{x,y\}=Y=f(X)$

$f(\{1\})=\{x\}⟺f(1)=X$

$X^{\prime \prime }=2,3\subseteq X$

$f(X^{\prime \prime })=\{y,y\}=\{y\}$

Esempio: inversione di una corrispondenza per trovare l’immagine inversa. Non si può risalire globalmente all’insieme di partenza sapendo solo la corrispondenza e il codomio, ma si può risalire a tutti gli elementi dell’insieme di partenza “collegati” al codominio.

$\Gamma =\{(1,x),(2,y),(3,y)\}$

$f^{-1}(Y)=X$

$Y^{\prime }=\{x\}⟹f^{-1}(Y^{\prime })=\{1\}$

$Y^{\prime \prime }=\{y\}⟹f^{-1}(\{y\})=\{2,3\}$