isomorfismo

Quando due strutture algebriche sono isomorfe, sono indistinguibili dalla teoria dei gruppi, alla quale appaiono come se fossero la stessa struttura.

In generale, un isomorfismo è un’applicazione biettiva tra due strutture algebriche dello stesso tipo tale che essa e la sua inversa siano omomorfismi.

Sia $G_1\stackrel{f}{\to }{G}_2$ un omomorfismo di gruppi. Se l’applicazione $f$ è biettiva, si dice che $f$ è un isomorfismo.

N.B.: Due gruppi finiti con cardinalità distinte non possono essere isomorfi. Ad esempio $\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$ e $\frac{\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}$. Invece c’è sempre un isomorfismo tra gruppi con la stessa cardinalità.

N.B.: Due gruppi isomorfi hanno lo stesso numero di sottogruppi; in più per ogni sottogruppo $H$ di $G_1$, esiste un sottogruppo $H^{\prime }$ di $G_2$ con la stessa cardinalità: $\forall H<G_1(f(H)<G_2)$, inoltre $\forall n\ge 1(|\{H<G_1:|H|=n\}|=|\{H<G_2:=|H^{\prime }|=n\}|)$

Esercizi

todo

Sia $f$ un isomorfismo.

Supponendo che $f$ è biettiva $⟺\exists f^{-1}:G_2\to G_1$ applicazione d’insieme biettiva $:f\circ f^{-1}=I{d}_{G_2}\wedge f^{-1}\circ f=I{d}_{G_1}$, dimostrare che $f^{-1}:G_2\to G_1$ è un isomorfismo di gruppi.

Inoltre se abbiamo $G_1\stackrel{f}{\to }{G}_2\stackrel{g}{\to }{G}_3$ isomorfismo allora $g\circ f:G_1\to G_3$ è un omomorfismo di gruppi che è un isomorfismo, quindi possiede un inverso $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

---

$G_2=({\mathbb{R}}_{>0},\cdot ,1)$ è un gruppo moltiplicativo

Dimostrare che $\mathbb{R}\stackrel{\exp }{\to }{\mathbb{R}}_{>0}$ e l’inverso è il logaritmo.

Dimostrare che exp e log sono isomorfismi, l’uno inverso dell’altro.