miglior polinomio

$o={\lim }_{x\to x_0}[\frac{f(x)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0{)}^1}]$ $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o((x-x_0))$

Il “miglior” polinomio è quello che approssima meglio il valore di $f(x_0)$ in $x_0$.

$f(x)=P_2(x)+o((x-x_0{)}^2)$

• Se $n=0$ e $f$ è continua, $P_0(x)=f(x_0)$

• Se $n=1$ e $f$ è derivabile, $P_1=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

• Se $n=2$ e $f^{\prime }$ è derivabile, $P_2=P_1+f^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0)$

• Se $n=2$ e … $P_2(x)=$

  • $f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ (retta tangente in $x_0$)
  • $+a(x-x_0{)}^2$ (altro termine)

Cioè $P_2(x)=\frac{f^0(x_0)}{1}({x-x_0}^0)+\frac{f^1(x_0)}{1}({x-x_0}^1)+a(x-x_0{)}^2$ Esplicitando gli o piccoli e applicando il teorema de l’hopital più volte: ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)-a(x-x_0)}{(x-x_0{)}^2}=0$ ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)-2a(x-x_0)}{2(x-x_0)}=0$ $0={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime \prime }(x_0)-2a}{2}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime \prime }(x)-2a}{2}$ $f^{\prime \prime }(x_0)=2a$ $a=\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}$ Sostituendo $a$: $P_2(x)=\frac{f^0(x_0)}{1}({x-x_0}^0)+\frac{f^1(x_0)}{1}({x-x_0}^1)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2$

todo per 3

Da ciò possiamo dedurre il miglior polinomio $n$-esimo che approssima $f(x_0)$ in $x_0$, ricavando le serie di Taylor.