probabilità continua

Volendo parlare di probabilità continua, non si possono generalizzare le proprietà viste finora su spazi campionari discreti. Ad esempio, sull’intervallo continuo $[0,1]$, non si può definire una misura di probabilità uniforme, perché ci sarebbero infiniti pesetti.

Per ottenere una misura di probabilità continua, invece di definire i pesetti dei singoli punti, dobbiamo definire la probabilità degli intervalli.

Funzione di densità

Una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è detta funzione di densità o funzione di densità di probabilità se:

• $\forall x\in \mathbb{R}f(x)\ge 0$
• ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$

Misura/legge/distribuzione di probabilità continua

Data una funzione di densità $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, la misura di probabilità associata a un sottoinsieme $A$ di $\mathbb{R}$ è la funzione di distribuzione $F_X(x)$ data dall’integrale:

$$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\mathbb{P}(\underset{A\subseteq \mathbb{R}}{A})=\underset{A}{\int }f(x)dx$$

Una legge di probabilità continua è univocamente specificata da una funzione di densità.

La probabilità di un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ (intervallo numerico) si dice la sua lunghezza.

Osservazioni:

• $\mathbb{P}((-\infty ,+\infty ))=1$
• $\mathbb{P}(\varnothing )=0$
• Se $A,B$ sono disgiunti, $\mathbb{P}(A\cup B)$

Esempi

1. $f(x)=\{\begin{array}{l}1\forall x\in [0,1]\\ 0\text{altrimenti}\end{array}$ è una funzione di densità, perché ha tutti valori positivi e integra a $1$. Quindi $\mathbb{P}(A)=\underset{A}{\int }f(x)dx=\underset{A}{\int }{1}_{[0,1]}(x)dx=|A\cap [0,1]|$, perché in questo caso $f(x)$ è la variabile aleatoria indicatrice.

In generale, per $a,b\in \mathbb{R},a<b$ possiamo definire:

$$f(x)=\frac{1_{[a,b]}(x)}{b-a}=f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a}\forall x\in [0,1]\\ 0\text{altrimenti}\end{array}$$

Questa è una funzione di densità? Sì, perché è sempre positiva e integra sempre a $1$. Abbiamo modificato la funzione dell’esempio 1. per fare in modo che integrasse sempre a $1$. Nell’esempio ciò non serviva perché $b-a=1-0=1$.

2. La funzione $f(x)=\frac{e^{-|x|}}{2}$ è una funzione di densità, perché ha tutti valori positivi e integra a $1$. Curiosità: per questa distribuzione di probabilità si ha la stessa probabilità che scegliendo un numero a caso da $\mathbb{R}$, si prenda un numero negativo o uno positivo, perché $f(x)$ è pari, quindi l’area sottesa a $f(x),x\ge 0$ è la stessa sottesa a $f(x),x<0$.