massimo e minimo

Per gli insiemi/intervalli

Minimo

$E\subseteq \mathbb{N},E\ne \varnothing$

$m$ è il minimo di $E$ se:

• $m\in E$
• $\forall n\in E,m\le N$

Teorema

Se $E\subseteq \mathbb{N}=\varnothing ⟹\exists min(E)$

Massimo

$E\subseteq \mathbb{N},E\ne \varnothing$ $M$ è il massimo di $E$ se:

• $M\in E$
• $\forall N\in E,M\ge N$

Teorema

• Se $E$ è infinito $⟹\exists max(E)$,
• Se $E$ è finito $⟹\nexists max(E)$,

Per le funzioni

Massimo relativo

$x_0$ si dice punto di massimo relativo se $f(x_0)\ge f(x)\forall x\in [f(x+\delta ),f(x-\delta )]$. Qui la derivata cresce e poi decresce dopo $x_0$.

Minimo relativo

$x_0$ si dice punto di minimo relativo se $f(x_0)\le f(x)\forall x\in [f(x+\delta ),f(x-\delta )]$. Qui la derivata decresce e poi cresce dopo $x_0$.

Teorema di fermat

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}{x}_0\in (a,b)$ Se $x_0$ è di massimo/minimo relativo allora $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f^{\prime }(x_0)=0$.

N.B.: Se $f^{\prime }(x_0)=0$ non è detto che $x_0$ sia di massimo o di minimo.