sottogruppi

Dato un gruppo $G=(G,\cdot ,1)$ in notazione moltiplicativa e un sottoinsieme $H\subseteq G$ non vuoto, con $a,b\in G$ si dice che $H$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $\forall a,b\in H(a\cdot b^{-1}\in H)$. Si scrive $H<G$. (In notazione additiva, $H<G⟺\forall a,b\in H,a+(-b)\in H$.

Osservazioni

1. Contiene l’identità: $a=b\in H⟹a\cdot b^{-1}=a\cdot a^{-1}=1\in H$.
2. È chiuso per inversi: $1\cdot b^{-1}=b^{-1}\in H$.
3. È chiuso per il prodotto: $a\cdot (b^{-1}{)}^{-1}=a\cdot b\in H$.
4. $H$ è un sottogruppo se e solo se $\forall a,b\in H(a{b}^{-1}\in H)$, ma sappiamo che $\forall x_i,y_i\in H_i(x_i{y}_i^{-1}\in H_i)$. Siano quindi $x,y\in H_1\cap H_2$, allora si ha che $x{y}^{-1}\in H_1\vee x{y}^{-1}\in H_2⟹x{y}^{-1}\in H_{1\vee 2}⟹H_1\cap H_2<G$. L’intersezione di sottogruppi è un sottogruppo.

Lemma: L’operazione $\cdot$ induce un operazione $H\times H\to H$ e $(H,\cdot ,1_G)$ è un gruppo.

N.B.: Ogni gruppo $(G,\cdot ,1)$ possiede 2 sottogruppi banali:

5. $G<G$;
6. $(\{1\},\cdot ,1)$ oppure in notazione additiva $(\{0\},+,0)$.

Sottogruppo generato da un sottoinsieme

Sia $I$ un sottoinsieme non vuoto di un gruppo $G$.

Definiamo

$$⟨I⟩=\bigcap _{\underset{I\subseteq H}{H<G}}H$$

Sappiamo che l’intersezione di sottogruppi è un sottogruppo (vedi esercizi sotto). Questo oggetto è detto “sottogruppo $<I>$ generato da $I$”, ed è il più piccolo sottogruppo di $G$ che contiene $I$.

Esempi di sottogruppi

(le barrette sopra le classi possono essere omessi per semplicità)

I sottogruppi di $\frac{\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}:=\{0,1,2,3\}$ sono solo $\{0\}$, se stesso (banali) e $\{0,2\}$ (non banale).

Dimostrazione:

Tabella di operazioni fra le classi:

$+$	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

Verifichiamo o confutiamo la chiusura di $+$ e eventualmente la condizione $\forall a,b\in H,a+(-b)\in H$ per ogni sottoinsieme di $\{0,1,2,3\}$.

• $\varnothing$: per definizione di gruppo $\varnothing$ non è un gruppo.

• {0}: per definizione (in notazione additiva) è un sottogruppo banale.

• {0, 1, 2, 3}: è l’insieme di partenza stesso, quindi è un sottogruppo banale per definizione

• {1}: non ha l’elemento neutro, quindi non è un gruppo.

• {2}: non ha l’elemento neutro, quindi non è un gruppo.

• {3}: non ha l’elemento neutro, quindi non è un gruppo.

• {0, 1}: $1+1=2\notin \{0,1\}⟹$ non è un gruppo.

• {0, 2}: $\forall x,y\in \{0,2\}(x+y\in \{0,2\})$ e $-0=2\wedge -2=0$, quindi $\{0,2\}$ è un gruppo. Si verifica direttamente anche $\forall a,b\in H,a+(-b)\in H$, quindi $\{0,2\}<G$.

• {0, 3}: $3+3=2\notin \{0,3\}⟹$ non è un gruppo.

• {1, 2}: $1+2=3\notin \{1,2\}⟹$ non è un gruppo.

• {1, 3}: $1+1=2\notin \{1,3\}⟹$ non è un gruppo.

• {2, 3}: $2+2=0\notin \{2,3\}⟹$ non è un gruppo.

• {0, 1, 2}: $1+2=3\notin \{0,1,2\}⟹$ non è un gruppo.

• {0, 1, 3}: $1+1=2\notin \{0,1,3\}⟹$ non è un gruppo.

• {0, 2, 3}: $2+3=1\notin \{0,2,3\}⟹$ non è un gruppo.

• {1, 2, 3}: $1+3=0\notin \{1,2,3\}⟹$ non è un gruppo.

L’unico sottogruppo non banale di $\{0,1,2,3\}$ è $0,2$.

Osservazione: in $\frac{\mathbb{Z}}{d\mathbb{Z}}$ esiste un sottogruppo di cardinalità $n$ se $n\mid d$.

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I sottogruppi del gruppo di Klein.

$$\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}=\{(\overline{0},\overline{0}),(\overline{1},\overline{0}),(\overline{0},\overline{1}),(\overline{1},\overline{1})\}$$

sono quelli banali insieme a $\{(0,0),(0,1)\}$, $\{(0,0),(1,0)\}$ e $\{(0,0),(1,1)\}$.

Esercizi

Dimostrare che $2\mathbb{Z}<\mathbb{Z}$

Devo verificare $\forall a,b\in 2\mathbb{Z}(a-b\in 2\mathbb{Z})$.

1. Definizione di $2\mathbb{Z}$: $\forall a,b(a,b\in 2\mathbb{Z}⟺\exists \alpha ,\beta \in \mathbb{Z}(a=2\alpha ,b=2\beta ))$
2. Per il punto 1 vale che $a-b=2\alpha -2\beta =2(\alpha -\beta )$ è contenuto in $2\mathbb{Z}$.

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Dimostrare che $\forall n\in \mathbb{Z}(n\mathbb{Z}<\mathbb{Z})$.

$n\mathbb{Z}<\mathbb{Z}⟺\forall a,b\in H(a+(-b)\in H)$

$n\mathbb{Z}=\{n\cdot z:z\in \mathbb{Z}\}$

Dato che l’operazione $+$ è chiusa in $\mathbb{Z}$ per definizione, allora lo sarà anche in $n\mathbb{Z}$, perché

$$\exists a,b,c\in \mathbb{Z}(c=a+b\in \mathbb{Z}⟹\exists cn\in n\mathbb{Z}(c=n\cdot (a+b)=n\cdot a+n\cdot b))$$

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Dimostrare che $n\mathbb{Z}$ è un sottogruppo banale di $\mathbb{Z}$ $⟺n\in \{0,1,-1\}$

• $0\mathbb{Z}=\{0\cdot z,z\in \mathbb{Z}\}=\{0\}=(\{0\},+,0)$
• $1\mathbb{Z}=\{1\cdot z,z\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}=(\mathbb{Z},+,0)$
• $-1\mathbb{Z}=\{-1\cdot z,z\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}=(\mathbb{Z},+,0)$

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Dimostrare che se $(A,+,\cdot ,-,0,1)$ è un anello, $(A,+,0)$ è un gruppo, e prendendo $H=\alpha A$ (abuso di notazione “insieme = gruppo”) con $\alpha \in A$ si ha che $H<(A,+,0)$.

Per definizione di $(A,+,\cdot ,-,0,1)$:

1. $A$ è un insieme non vuoto perché contiene $0$ e $1$, elementi comuni ad $(A,+,0)$.
2. $+$ è definito nell’anello da $A\times A\to A$, quindi ovviamente è definito anche su $(A,+,0)$.
3. $0$ è l’elemento neutro contenuto anche in $(A,+,0)$.
4. La funzione $-$ associa a ogni elemento di $A$ al suo opposto

Quindi $(A,+,0)$ (con $A$, $+$ e $0$ come definiti in $(A,+,\cdot ,-,0,1)$) è un gruppo.

$H=(\alpha A,+,0)$

$\forall x,y,\alpha \in A(x-y\in A⟹\alpha (x-y)\in A⟹\alpha x-\alpha y\in \alpha A)$ quindi $\forall a,b\in A,\alpha A(a+(-b)\in H)$, quindi $H$ è un sottogruppo di $(A,+,\cdot ,-,0,1)$.

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Dimostrare che $\mathbb{Z}<\mathbb{Q}<\mathbb{R}<\mathbb{C}$.

1. $\forall a,b\in \mathbb{Z}\cap \mathbb{Q}(\mathbb{Z}<\mathbb{Q}⟺a+(-b)\in \mathbb{Z})$

   • Dimostrazione: per il lemma Bézout nel contesto dei sottogruppi additivi di Z ( $x\mathbb{Z}+y\mathbb{Z}=\text{MCD}(x,y)\mathbb{Z}$, sostituendo $x=1,y=-1$) abbiamo $\mathbb{Z}+(-\mathbb{Z})=-\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$. Ciò dimostra la chiusura in $\mathbb{Z}$ dell’addizione tra un numero e l’inverso di un altro.

2. $\forall a,b\in \mathbb{Q}\cap \mathbb{R}(\mathbb{Q}<\mathbb{R}⟺a+(-b)\in \mathbb{Q})$ todo

3. $\forall a,b\in \mathbb{R}\cap \mathbb{C}(\mathbb{R}<\mathbb{C}⟺a+(-b)\in \mathbb{R})$

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Dati $H_1,H_2<G$ e dimostrare che $H_1\cup H_2\nless G$.

Basta trovare un controesempio:

$G=S_3$ (gruppo di permutazioni)

• $H_1=\{\text{Id},(1,2)\}$
• $H_2=\{\text{Id},(1,3)\}$
• $H_1\cup H_2=\{\text{Id},(1,2),(1,3)\}\nless G$

Curiosità: $3\mathbb{Z}+4\mathbb{Z}<\mathbb{Z}$