vettori linearmente indipendenti

Due vettori si dicono linearmente indipendenti su $K$, dati gli scalari ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$, se non esistono combinazioni lineari non banali ${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_n{v}_n$ uguali a $0_V$ (origine/vettore nullo), altrimenti sono linearmente indipendenti.

Ad esempio $v_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),v_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$ sono linearmente indipendenti: ${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\lambda }_1}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{{\lambda }_2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}\right)$.

In altri termini, l’unica combinazione lineare di $v_1,\dots ,v_n$ che è nulla è la combinazione lineare banale.

Osservazione: $v_1,v_2\in K^n-\{0\}$ allora $v_1,v_2$ sono linearmente dipendenti $⟺$ sono collineari, ovvero l’uno proporzionale all’altro ($\exists \lambda \in K:v_2=\lambda v_1$).

Esempio in ${\mathbb{R}}^3$: $v_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -3\end{array}\right)$. Si nota che $v_2=-\frac{3}{2}{v}_1$.

Esempi

Nello spazio vettoriale $K^n$ consideriamo i vettori

$$e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)e_j=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)e_n=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

Dimostrare che $e_1,\dots ,e_n$ sono linearmente indipendenti.

1. Consideriamo $\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)\in \mathcal{E}$.
2. Quindi ${\lambda }_1{e}_1+\dots +{\lambda }_n{e}_n=0\in K^n$.
3. Questo si riscrive $$\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ {\lambda }_2\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ {\lambda }_j\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)⟺\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)⟺{\lambda }_1=0,\dots ,{\lambda }_n=0$$
4. Ciò implica che $\mathcal{E}=\{0\}$, quindi $e_1,\dots ,e_n$ sono linearmente indipendenti.

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$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)v_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

Mostrare che questi vettori sono linearmente indipendenti su $\mathbb{R}$ (campo degli scalari).

1. Si tratta di dimostrare che $\mathcal{E}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right\}$ ma $\mathcal{E}=\left\{\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ {\lambda }_3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3:{\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+{\lambda }_3{v}_3=0\right\}$.
2. Sia $\left\{\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ {\lambda }_3\end{array}\right)\right\}\in \mathcal{E}$, allora ${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+{\lambda }_3{v}_3=0=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1+{\lambda }_2+0\\ 0+{\lambda }_2+{\lambda }_3\\ {\lambda }_1+0+{\lambda }_3\end{array}\right)\underset{\text{sistema lineare}}{=}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ $⟹v_1,v_2,v_3$ sono linearmente indipendenti.