vettori linearmente indipendenti

Due vettori si dicono linearmente indipendenti su $K$, dati gli scalari ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$, se non esistono combinazioni lineari non banali ${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_n{v}_n$ uguali a $0_V$ (origine/vettore nullo), altrimenti sono linearmente indipendenti.

Ad esempio $v_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),v_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$ sono linearmente indipendenti: ${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\lambda }_1}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{{\lambda }_2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}\right)$.

In altri termini, due vettori sono indipendenti se l’unica combinazione lineare di $v_1,\dots ,v_n=0$ è la combinazione dove ${\lambda }_1=0,\dots ,{\lambda }_n=0$.

N.B.: Se un insieme di $n$ vettori $\in K^n$ sono linearmente indipendenti, la loro span è $K^n$.

Osservazione: $v_1,v_2\in K^n-\{0\}$ allora $v_1,v_2$ sono linearmente dipendenti $⟺$ sono collineari, ovvero l’uno proporzionale all’altro ($\exists \lambda \in K:v_2=\lambda v_1$).

Esempio in ${\mathbb{R}}^3$: $v_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -3\end{array}\right)$. Si nota che $v_2=-\frac{3}{2}{v}_1$.

N.B: è garantito che scegliendo qualsiasi $n$ vettori in ${\mathbb{K}}^m$, con $n>m$, essi siano linearmente dipendenti.

Teorema: dei vettori (colonna) formano una matrice il cui determinante è 0 se se solo se sono dipendenti.

Intuitivamente, dato che il determinante può essere visto come il fattore di scala di quanto una applicazione lineare deforma l’area/volume/iper-volume etc. del quadrilatero/parallelepipedo/iper-parallelepipedo etc. definito dai vettori unitari della base canonica di $K^n$, è evidente che se almeno due vettori dell’insieme studiato sono con-lineari allora l’applicazione lineare proietta lo spazio vettoriale di dimensione $n$ in uno di dimensione $n-1$, appiattendo l’area/volume/iper-volume etc, cioè rendendola nulla.

Ad esempio, i vettori colonna della matrice $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& 2& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ sono linearmente dipendenti perché descrivono lo spazio vettoriale $\{\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right):x=-2y,z=0\end{array}$, isomorfo a ${\mathbb{R}}^2$. Quindi si può dire che la trasformazione lineare ha determinante 0 perché proietta il cubo definito in ${\mathbb{R}}^3$ da $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in un parallelogramma in ${\mathbb{R}}^2$, scalando il suo volume a 0.

Esempi

Nello spazio vettoriale $K^n$ consideriamo i vettori

$$e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)e_j=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)e_n=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

Dimostrare che $e_1,\dots ,e_n$ sono linearmente indipendenti.

1. Consideriamo $\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)\in \mathcal{E}$.
2. Quindi ${\lambda }_1{e}_1+\dots +{\lambda }_n{e}_n=0\in K^n$.
3. Questo si riscrive $$\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ {\lambda }_2\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ {\lambda }_j\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)⟺\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)⟺{\lambda }_1=0,\dots ,{\lambda }_n=0$$
4. Ciò implica che $\mathcal{E}=\{0\}$, quindi $e_1,\dots ,e_n$ sono linearmente indipendenti.

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$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)v_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

Mostrare che questi vettori sono linearmente indipendenti su $\mathbb{R}$ (campo degli scalari).

1. Si tratta di dimostrare che $\mathcal{E}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right\}$ ma $\mathcal{E}=\left\{\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ {\lambda }_3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3:{\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+{\lambda }_3{v}_3=0\right\}$.
2. Sia $\left\{\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ {\lambda }_3\end{array}\right)\right\}\in \mathcal{E}$, allora ${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+{\lambda }_3{v}_3=0=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1+{\lambda }_2+0\\ 0+{\lambda }_2+{\lambda }_3\\ {\lambda }_1+0+{\lambda }_3\end{array}\right)\underset{\text{sistema lineare}}{=}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ $⟹v_1,v_2,v_3$ sono linearmente indipendenti.