distribuzione di Bernoulli

$\Omega =\{0,1\}$ con $p_1=p$, $p_0=1-p$ per $p\in [0,1]$. La collezione di pesetti $\{p,1-p\}$ è detta distribuzione di Bernoulli di parametro $p$.

Questa misura di probabilità può essere applicata ad esempio alla probabilità di vedere testa e croce dopo il lancio di una moneta truccata.

Verifichiamo che questa è una valida distribuzione di probabilità:

1. $\forall k\in \{0,1,\dots ,N\}(p_k\in [0,1])$ Perché $p_k$ rappresenta la probabilità di vedere esattamente $k$ teste in $N$ lanci di moneta.
2. ${\sum }_{k=0}^N{p}_k=1$

Dimostrazione probabilistica:

$$\sum _{k=0}^{\mathbb{N}}{p}_k=\sum _{k=0}^N\mathbb{P}(\text{esattamente k teste in N lanci})=\mathbb{P}({\cup }_{k=0}^N\{\text{esattamente k teste in N lanci}\})=\Omega =1$$

Dimostrazione analitica:

$$\sum _{k=0}^N{p}_k=\sum _{n=1}^N\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{K}\right)\cdot p^K\cdot (1-p{)}^{N-K}=(p+(1-p){)}^N=1^N=1$$