probabilità

Una misura di probabilità su uno spazio campionario $\Omega$ è una mappa $\mathbb{P}:F\to [0,1]$ dove $F$ è l’insieme delle parti di $\Omega$ (cioè la famiglia di tutti gli eventi) tale che:

• $\mathbb{P}(\Omega )=1$
• Per ogni collezione numerabile di eventi disgiunti vale, sia per unioni finite che infinite, che

$$\mathbb{P}(U_{n\ge 1}{A}_n)=\sum _{n\ge 1}\mathbb{P}(A_n)$$

(additività della misura di probabilità)

N.B.: In particolare, se $A\subseteq \Omega$, $A$ e $A^c$ (il complemento di A) sono eventi disgiunti, quindi la somma delle probabilità è la probabilità della somma.

$$1=\mathbb{P}(A\cup A^c)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^c)\to \mathbb{P}(A^c)=1-\mathbb{P}(a)$$

Notazione

Data una collezione di eventi $A_1,A_2,A_3,\dots$

Per spazi campionari finiti

$${\cap }_{n=1}^n{A}_n=\{\omega \in \Omega :\forall k\in \{1,2,\dots ,n\}\omega \in A_k\}$$ $${\cup }_{n=1}^n{A}_n=\{\omega \in \Omega :\exists k\ge 1\omega \in A_k\}$$

Per spazi campionari infiniti

$${\cap }_{n=1}^{\infty }{A}_n=\{\omega \in \Omega :\forall k\ge 1\omega \in A_k\}$$ $${\cup }_{n=1}^{\infty }{A}_n=\{\omega \in \Omega :\exists k\in \{1,2,\dots ,n\}\omega \in A_k\}$$

Proprietà delle misure di probabilità (non necessariamente uniformi)

1. $P(\varnothing )=0$ poiché $\varnothing ={\Omega }^C$
2. $P(A^C)=1-P(A)$
3. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
4. $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$
5. $A\le B⟹P(A)\le P(B)=P(A)\le P(B-A)$

Sub-additività della misura di probabilità

Se $A$ e $B$ sono eventi disgiunti, allora $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A+B)$, ma se non sono disgiunti (hanno un’intersezione non vuota), allora $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$, perché con $\mathbb{P}(A+B)$ gli eventi nell’intersezione verrebbero contati due volte.

Continuità delle misure di probabilità

Sia $\Omega$ è uno spazio campionario, e sia $(A_n{)}_{n\ge 1}$ una collezione crescente di eventi, cioè

$$A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq \dots \subseteq A_n$$

allora:

$$\mathbb{P}({\cup }_{n\ge 1}{A}_n)=\underset{n\to +\infty }{\lim }(\mathbb{P}(A_n))$$

Viceversa, se $(A_n{)}_{n\ge 1}$ è una collezione decrescente di eventi, cioè

$$A_n\subseteq \dots \subseteq A_3\subseteq A_2\subseteq A_1$$

allora:

$$\mathbb{P}({\cap }_{n\ge 1}{A}_n)=\underset{n\to +\infty }{\lim }(\mathbb{P}(A_n))$$