probabilità

Una misura di probabilità su uno spazio campionario $\Omega$ è una mappa $\mathbb{P}:F\to [0,1]$ dove $F$ è l’insieme delle parti di $\Omega$ (cioè la famiglia di tutti gli eventi) tale che:

• $\mathbb{P}(\Omega )=1$
• Se ${(A_n)}_{n\ge 1}$ è una collezione di eventi disgiunti

$$\mathbb{P}(U_{n\ge 1}{A}_n)=\sum _{n\ge 1}\mathbb{P}(A_n)$$

N.B.: In particolare, se $A\subseteq \Omega$, $A$ e $A^c$ sono eventi disgiunti, quindi

$$1=\mathbb{P}(A\cup A^c)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^c)$$

quindi

$$\mathbb{P}(A^c)=1-\mathbb{P}(a)$$

(cioè la probabilità di qualcosa è 1 meno la probabilità che il suo opposto si verifichi)

Notazione

Data una collezione di eventi $A_1,A_2,A_3,\dots$

Per spazi campionari finiti

$${\cap }_{n=1}^n{A}_n=\{\omega \in \Omega :\forall k\in \{1,2,\dots ,n\}\omega \in A_k\}$$ $${\cup }_{n=1}^n{A}_n=\{\omega \in \Omega :\exists k\ge 1\omega \in A_k\}$$

Per spazi campionari infiniti

$${\cap }_{n=1}^{\infty }{A}_n=\{\omega \in \Omega :\forall k\ge 1\omega \in A_k\}$$ $${\cup }_{n=1}^{\infty }{A}_n=\{\omega \in \Omega :\exists k\in \{1,2,\dots ,n\}\omega \in A_k\}$$