maggiorante e minorante + teoremi

maggiorante

$E\subseteq \mathbb{N}$

$M$ si dice maggiorante di $E$ se $M\ge N\forall N\in E$

• Se $M$ è un maggiorante di $E$, allora $M+1,M+2,M+k$ sono maggioranti.
• Non esiste negli insiemi illimitati a destra.

minorante

$E\subseteq \mathbb{N}$

$m$ si dice minorante di $E$ se $m\ge n\forall n\in E$

• Se $m$ è un minorante di $E$, allora $M-1,M-2,M-k$ sono minoranti.
• Non esiste negli insiemi illimitati a sinistra.

differenza tra max/min e maggiorante/minorante

N.B.: il massimo e minimo di un insieme sono maggiorante e minorante dell’insieme, ma non vale l’implicazione inversa, ciò significa che il maggiorante e il minorante non appartengono necessariamente all’insieme.

 

teorema di esistenza del massimo per $E\subseteq \mathbb{N}$

Sia $E\subseteq \mathbb{N}$, $E\ne \varnothing$ H: esiste almeno un maggiorante di $E$ (insieme dei maggioranti di $E$: $M(E)=\{n\in \mathbb{N}:n\ge m\forall m\in E\}$) T: esiste un massimo se $M(E)=\{n\in \mathbb{N}:n\ge m\forall m\in E\}\ne \varnothing$ $⟹\exists min(M(E))=max(E)$ $\square$

teorema di esistenza del minimo di $E\subseteq \mathbb{N}$

se $E\subseteq \mathbb{N},E\ne \varnothing$ H: esiste almeno un maggiorante di $E$ (insieme dei maggioranti di $E$: (insieme dei minoranti di $E$: $m(E)=\{n\in \mathbb{N}:n\le m\forall m\in E\}\ne \varnothing$ $⟹\exists max(m(E))=min(E)$ $\square$

teorema di esistenza del massimo e del minimo di $E\subseteq \mathbb{Z}$

se $E\subseteq \mathbb{Z}\ne \varnothing$

• $\exists min(E)?$
• $\exists max(E)?$

Se $E\subseteq \mathbb{Z}$: $m(E)\ne \varnothing ⟹\exists min(E)=max(m(E))$ $M(E)\ne \varnothing ⟹\exists max(E)=min(M(E))$ $\square$

teorema di esistenza del massimo e del minimo di per $E\subseteq \mathbb{Q}$

$E\subseteq \mathbb{Q}\ne \varnothing$ Sia $E|m(E)\ne \varnothing$

• $\exists max(m(E))=min(E)?$
• $\exists min(M(E))=max(E)?$

$E=\{x\in \mathbb{Q}|0<x<1\}$ $m(E)\ne \varnothing =\{x\in \mathbb{Q}|x\le 0\}$ $max(m(E))=0=min(E)$ $\exists max(m(E))\ne min(E)(\nexists min(E))$ $M(E)=\{x\in \mathbb{Q}|x\ge 1\}$ $\exists min(M(E))=1,\nexists max(E)$

teorema (per $E\subseteq \mathbb{Q}$)

$E\ne \varnothing ,E\subseteq \mathbb{Q}$

• se $m(E)\ne \varnothing ⟹E\max (m(E))$? falso
• se $m(E)\ne \varnothing ⟹E\min (M(E))$? falso

esempio: $E=\{x\in \mathbb{Q}:x\ge 0\text{ e }{x}^2\le 2\}$ $M(E)\ne \varnothing ⟹\exists min(M(E))$? Non sempre! Se esistesse $L=min(M(E)),L\in \mathbb{Q}$, esisterebbe $L^2=2,L\in \mathbb{Q}$

teorema (per $E\subseteq \mathbb{R}$)

$E=\{x\in \mathbb{R}:x\ge 0\text{ e }{x}^2\le 2\}$ $M(E)\ne \varnothing ⟹\exists min(M(E))$? Sì! $\sqrt{2}=min(M(E))⟹max(E)=\sqrt{2}$

definizione (per $E\ne \varnothing \subseteq \mathbb{R}$)

• Se $M(E)=\{x\in \mathbb{R}|x\ge y\forall y\in E\}\ne \varnothing ⟹\exists min(M(E))\in \mathbb{R}$
• Se $m(E)=\{x\in \mathbb{R}|x\le y\forall y\in E\}\ne \varnothing ⟹\exists max(m(E))\in \mathbb{R}$

estremo superiore: $sup(E)=min(M((E)))$ estremo inferiore: $inf(E)=max(m(E)))$

definizione (per $E\subseteq \mathbb{R}$)

• $\sup (E)=min(M((E)))$ se $M(E)\ne \varnothing$ o $+\infty$ se $M(E)=\varnothing$
• $\inf (E)=max(m((E)))$ se $m(E)\ne \varnothing$ o $-\infty$ se $m(E)=\varnothing$
• TUTTI i sottoinsiemi (limitati) di $\mathbb{R}$ hanno superiore e inferiore

Se $sup(E)\in E⟹sup(E)=max(E)$ Se $inf(E)\in E⟹inf(E)=min(E)$

Queste definizioni ci permettono di definire gli intervalli in R.