omomorfismo

In generale, un omomorfismo è un’applicazione tra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva le operazioni in esse definite.

Siano $G_1=(G_1,{\cdot }_1,1_1),G_2=(G_2,{\cdot }_2,1_2)$ due gruppi (in notazione moltiplicativa).

L’applicazione $f$ è un omomorfismo di gruppi se:

1. $f(1_1)=1_2$
2. $\forall a\in G_1(f(a^{-1})=f^{-1}(a))$
3. $\forall a,b\in G_1(f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b))$

Ovviamente si può anche scrivere in notazione additiva:

1. $f(0_1)=0_2$
2. $f(-a)=-f(a)$
3. $f(a+b)=f(a)+f(b)$

Sia $G_1\stackrel{f}{\to }{G}_2$ un omomorfismo di gruppi. Se $f$ è biettiva, si dice che $f$ è un isomorfismo.

Il kernel di un omomorfismo $f$ è definito come $\ker (f)=f^{-1}\{1_{G_2}\}$, cioè l’immagine inversa dell’elemento neutro di $G_2$, cioè tutti gli elementi di $G_1$ che puntano al neutro di $G_2$. Per definizione è sempre un sottogruppo normale.

Esercizi

$G_1\stackrel{f}{\to }{G}_2\text{eˋ un omomorfismo}⟺\forall a,b\in G_1\in G_2$ si ha $f(a+(-b))=f(a)+-f(b)$.

1. Bisogna dimostrare che se $f$ è un omomorfismo, vale quella proprietà. Dimostrazione: se $f$ è un omomorfismo, allora $f(a+b)=f(a)+f(b)$. Dato che $G_1$ e $G_2$ sono gruppi, allora sicuramente $\forall b(\exists (-b))$, quindi $f(a+(-b))=f(a)+-f(b)$.
2. Bisogna dimostrare che se vale quella proprietà, $f$ è un isomorfismo. Dimostrazione: $f(a+(-b))=f(a)+(-f(b))$ implica:
   • (1) che $\forall a(f(a+(-a))=f(a)+(-f(a))=0)$, per la definizione additiva di elemento neutro $x+(-x)=0$.
   • (3) che $\forall b(\exists c=-b⟹f(a+c)=f(a)+f(c))$;
   • (2) che $f(0_1+(-c))=0_2-f(c)$ (sostituendo $a$ con gli elementi neutri di $G_1$ e $G_2$ nel punto precedente), quindi $f(-a)=-f(a)$;

$\square$