esiti equiprobabili

Sia $\Omega$ un insieme finito, e sia $|\Omega |$ il numero degli elementi di $\Omega$ (cardinalità). Definiamo, per ogni singleton $\omega \in \Omega$, $\mathbb{P}(\{\omega \})=\frac{1}{|\Omega |}$ (tutti gli esiti sono equiprobabili).

Nota: Per ogni $A\subseteq \Omega$:

$$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}({\cup }_{\omega \in A}\{\omega \})=\sum _{\omega \in A}\mathbb{P}(\{\omega \})=\sum _{\omega \in A}\frac{1}{|\Omega |}=\frac{1}{|\Omega |}\cdot |A|\to \mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}\forall A\subseteq \Omega$$

Cioè considerando un evento $A$ composto da esisti equiprobabili su $\Omega$, la sua probabilità è il rapporto tra gli esiti di cui è composto e tutti gli esiti che compongono $\Omega$.

Esempio: lancio una moneta equa

$$\Omega =\{T,C\}$$ $$\mathbb{P}(\{T\})=\mathbb{P}(\{c\})=\frac{1}{2}$$ $$F=\{\varnothing ,\Omega ,\{T\},\{C\}\}$$

Esempio: lancio 2 monete eque

$$\Omega =\{TT,TC,CT,CC\}=\{T,C\}\times \{T,C\}$$ $$\mathbb{P}(\{TT\})=\mathbb{P}(\{TC\})=\mathbb{P}(\{CT\})=\mathbb{P}(\{CC\})=\frac{1}{4}$$ $$\mathbb{P}(\text{esattamente una}T)=\frac{|\{TC,CT\}|}{|\Omega |}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$ $$\mathbb{P}(\text{almeno una}T)=\frac{|\{TC,CT,TT\}|}{|\Omega |}=\frac{3}{4}$$

Misura uniforme di probabilità

Sia $\Omega$ un insieme finito con esiti equiprobabili. La probabilità che un evento $A$ si verifichi è

$$\mathbb{P}=\frac{|A|}{|\Omega |}\forall A\subseteq \Omega$$

Notiamo che $\mathbb{P}$ soddisfa:

1. $\mathbb{P}(\Omega )=\frac{|\Omega |}{|\Omega |}=1$
2. Per ogni collezione di eventi disgiunti $(A_n{)}_{n=1}^N$ si ha che $\mathbb{P}({\cup }_{n=1}^N{A}_n)=\frac{|{\cup }_{n=1}^N{A}_n|}{|\Omega |}=\frac{{\sum }_{n=1}^N|A_n|}{|\Omega |}={\sum }_{n=1}^N\mathbb{P}(A_n)$

Proprietà

• $\mathbb{P}(\varnothing )=0$ perché $P(\varnothing )=\frac{|\varnothing |}{|\Omega |}=\frac{0}{|\Omega |}=0$
• $\mathbb{P}(A^c)=\frac{|A^c|}{|\Omega |}=\frac{|\Omega |-|A|}{|\Omega |}=1-\mathbb{P}(A)$
• $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$ perché $\frac{|A\cup B|}{|\Omega |}=\frac{|A|+|B|-|A\cap B|}{|\Omega |}$

N.B.: $\mathbb{P}(A\cup B)\le \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$ perché gli elementi nell’intersezione di $A$ e $B$ vengono contati due volte in $\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$ (sub-additività).

Osserviamo che per lavorare con tale misura di probabilità dobbiamo saper contare gli elementi di vari insiemi, ossia dobbiamo saper determinare le cardinalità degli insiemi.