variabili aleatorie

Spesso siamo interessati non all’esito di un esperimento aleatorio, ma di una funzione dell’esito.

Esempio: lancio una moneta $\{T,C{\}}^{100}$ ci interessa contare il numero di teste, che è una funzione $X:\Omega \to \{0,1,\dots ,100\},\omega \in \Omega \mapsto X(\omega )=\text{numero di teste nella stringa }\Omega$.

Una variabile aleatoria su uno spazio campionario su uno spazio campionario $\Omega$ a valori in un insieme $S\subseteq \mathbb{R}$ è una funzione $X:\Omega \to S,\omega \in \Omega \mapsto X(\omega )\in S$.

Nell’esempio precedente, $\Omega =\{T,C{\}}^{100}$, $S=\{0,1,\dots ,100\}$ e $\forall \omega \in \Omega (X(\omega )=\text{numero di T in }\omega )$.

• variabile aleatoria indicatrice
• valore atteso di una variabile aleatoria

Legge di variabile aleatoria

Se $\Omega$ è uno spazio campionario e $X:\Omega \to S$ è una variabile aleatoria su $\Omega$ a valori $\in S$, la legge (o distribuzione) della variabile aleatoria di $X$ è la misura di probabilità specificata su $S$ dai pesetti $p_x\text{con}{p}_x=\mathbb{P}(X=x)$, per ogni $x\in S$.

• trasformazione di variabili aleatorie

Esempi

Lancio una moneta truccata 2 volte. La probabilità di avere testa è $p$.

$\Omega =\{T,C\}\times \{T,C\}=\{(T,T),(T,C),(C,T),(C,C)\}$

Esiti possibili:

• $p_{TT}=p^2$
• $p_{TT}=p(1-p)$
• $P_{TC}=(1-p)p$
• $P_{CC}=(1-p{)}^2$

Per $\omega \in \Omega$ definisco $X(\omega )$ = numero di $T$ in $\omega$:

• $X(TC)=2$
• $X(TC)=X(CT)=1$
• $X(CC)=0$

Legge di probabilità:

• $p_0=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(CC)=(1-p{)}^2$
• $p_1=\mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(TC,CT)=2p(1-p)$
• $p_2=\mathbb{P}(X=2)=\mathbb{P}(TT)=(1-p{)}^2$

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Lancio un dado 2 volte.

Su $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}\times \{1,2,3,4,5,6\}$ definiamo le seguenti variabili aleatorie:

Descrizioni:

• $X$ = numero del primo lancio
• $Y$ = somma dei due lanci
• $Z$ = massimo tra i due risultati
• $V$ = minimo tra i due risultati

Definizioni:

• $X:\Omega \to \{1,2,3,4,5,6\}=S_X,\omega =({\omega }_1,{\omega }_2)\in \Omega \mapsto X({\omega }_1,{\omega }_2)={\omega }_1$
• $Y:\Omega \to \{2,3,4,\dots ,12\}=S_Y,\omega =({\omega }_1,{\omega }_2)\in \Omega \mapsto Y({\omega }_1,{\omega }_2)={\omega }_1+{\omega }_2$
• $Z:\Omega \to \{1,2,3,4,5,6\}=S_Z,\omega =({\omega }_1,{\omega }_2)\in \Omega \mapsto Z({\omega }_1,{\omega }_2)=\max ({\omega }_1,{\omega }_2)$
• $V:\Omega \to \{1,2,3,4,5,6\}=S_V,\omega =({\omega }_1,{\omega }_2)\in \Omega \mapsto V({\omega }_1,{\omega }_2)=\min ({\omega }_1,\omega 2)$

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Sia $\Omega$ lo spazio campionario $\Omega =\{1,2,3,4\}$ con misura di probabilità $p_1=\frac{1}{4},p_2=\frac{3}{8},p_3=\frac{1}{4},p_4=\frac{1}{8}$.

Calcolare la legge di $1_A$ con $A=\{3,4\}$.

$$1_A:\Omega \to \{0,1\}$$ $${\tilde{p}}_1=\mathbb{P}(1_A)=\mathbb{P}(\{3,4\})=p_3+p_4=\frac{3}{8}=\mathbb{P}(A)$$ $${\tilde{p}}_0=1-\widetilde{p_1}=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$$