applicazione quoziente

Ricordiamo che se $X$ è un’insieme $\ne \varnothing$ con relazione d’equivalenza $\sim$ qualsiasi, si definisce l’insieme quoziente $\frac{X}{\sim }=\{\text{classi d’equivalenza di}\sim \text{su}X\}$

Consideriamo $X\stackrel{f}{\to }Y$: sia $\sim$ la relazione d’equivalenza associata $x,x^{\prime }\in X,x\sim x^{\prime }⟹f(x)=f(x^{\prime })$.

Definiamo su $\frac{X}{\sim }\times Y$ la corrispondenza $\Gamma =\{(Cl(x),f(x)):x\in X\}$.

Lemma: $\Gamma$ è il grafo di un’applicazione $\frac{X}{\sim }\stackrel{\overline{f}}{\to }Y$ detta applicazione quoziente.

Dimostrazione:

Sia $\overline{x}\in \frac{X}{\sim }$

$\overline{x}=Cl(x)\subset X$ più precisamente $\overline{x}=\{x^{\prime }\in X\text{con}{x}^{\prime }\sim x\}=\{x^{\prime }\in X\text{con}f(x^{\prime })=f(x)\}$ Quindi $f(\overline{x})=\{f(x^{\prime }):x^{\prime }\in \overline{x}\}=\{f(x)\}$

In questo modo abbiamo associato ad ogni elemento $\overline{x}\in \frac{X}{\sim }$ uno ed uno solo elemento $y=f(x)\in Y$. Questo definisce in modo univoco un’applicazione.

$$\frac{X}{\sim }\stackrel{f}{\to }Y$$ $$\overline{f}(\overline{x})=f(x)\forall x\in X$$

N.B.: Per costruzione, l’applicazione è iniettiva, ed è biiettiva $⟺$ $f$ è suriettiva.

Esempio di applicazione quoziente:

• $X=\{1,2,3,4,5\}$
• $Y=\{a,b\}$

$x$	$f(x)$
1	a
2	a
3	b
4	a
5	b

L’insieme $\{1,2,4\}$ (elemento di $\frac{X}{\sim }$) è mappato ad $a$ (elemento di $Y$) e l’insieme $\{3,5\}$ (elemento di $\frac{X}{\sim }$) è mappato a $b$ (elemento di $Y$). Questa è l’applicazione quoziente Notiamo che $\frac{X}{\sim }=\{Cl(1),Cl(3)\}$.