spazio vettoriale quoziente

Dato uno spazio vettoriale $V$ e un suo sottospazio vettoriale $U$, lo spazio quoziente $V/U$ è l’insieme quoziente di $V$ per $\sim$, la relazione d’equivalenza

$$v\sim v^{\prime }⟺v-v^{\prime }\in U$$

Cioè, $v$ è equivalente a $v^{\prime }$ se uno può essere ottenuto dall’altro aggiungendo un elemento del sottospazio $U$. (wikipedia)

In altre parole, la classe di $[v]$ è l’insieme $\{v+u:u\in U\}$, e la mappa $v\mapsto [v]$ è detta mappa quoziente.

La dimensione dello spazio quoziente è definita come codimensione di $U$ in $V$.

$$\dim (V/U)={\text{codim}}_V(U)=\dim (V)-\dim (U)$$

Ad esempio, se $U$ è una retta vettoriale ($\dim (U)=1$) e $V$ è ${\mathbb{R}}^3$ ($\dim (V)=3$), allora $\dim (V/U)=2$.

$V/U$ in questo caso è l’insieme di tutte le rette in ${\mathbb{R}}^3$ parallele alla retta $U$. Intuitivamente in ${\mathbb{R}}^3$ ci sono tante rette parallele ad essa tanti quanti i punti di un qualche piano, perché ogni retta passerà per un punto sulla sua superficie. Dato che questo piano ha dimensione 2, allora $\dim (V/U)=2$.