(mcm) minimo comune multiplo

Può essere definito su un anello commutativo arbitrario.

Sia $A$ è un anello commutativo e $a,b,d\in A$.

$$m=\text{mcm}(a,b)⟺\{\begin{array}{l}m>0,\\ a\mid m\text{e}b\mid m,\\ \forall x\in A,(a\mid x\wedge b\mid x)\Rightarrow m\mid x\end{array}$$

oppure

$$m=\text{mcm(a, b)}⟺m=\min (\{x\in \mathbb{Z}:a\mid x\wedge b\mid x\})$$

Osservazioni:

• $\text{mcm}(ua,ub)=u\cdot \text{mcm}(a,b)$;
• $\text{mcm}\left(\frac{a}{\text{mcm}\left(a,b\right)},\frac{b}{\text{mcm}(a,b)}\right)=\text{mcm}(a,b)⟹$ i due numeri sono coprimi;
• $a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=\text{mcm}(a,b)\mathbb{Z}$ (confrontando le due definizioni la dimostrazione è immediata).