teoria degli anelli

La teoria degli anelli si fonda sull’astrazione delle proprietà delle operazioni sull’insieme dei numeri interi relativi $\mathbb{Z}$, le quali vengono definite su un sull’insieme generico detto anello.

Operazioni in $\mathbb{Z}$

Assiomi

$\mathbb{Z}$ è dotato di due operazioni binarie (addizione e moltiplicazione) più una unaria, (l’opposto). Esse sono definite attraverso questi assiomi:

• L’addizione $+$ è commutativa ($a+b=b+a$) e associativa ($a+(b+c)=(a+b)+c$).
• Anche la moltiplicazione $\cdot$ è commutativa ($ab=ba$) e associativa ($(ab)c=a(bc)$).
• La moltiplicazione è distributiva sull’addizione ($a(b+c)=ab+ac$).
• Esiste il neutro additivo $0$ con $a+0=0+a=a$.
• Esiste il neutro moltiplicativo $1$ con $a\cdot 1=1\cdot a=a$.

Definizione induttiva del prodotto $\cdot$

La moltiplicazione $a\cdot b$ in $\mathbb{Z}$ si può definire:

• per $b>0\to a\cdot b={\sum }_{k=0}^b{a}_k$, cioè ripetendo l’addizione di $a$ ad $a$ per $b$ volte.
• per $b<0\to a\cdot b=-(a\cdot (-b))$, cioè usando la definizione di prodotto per $b>0$ e l’opposto.
• per $b\cdot 0=0$ per definizione di neutro moltiplicativo.

Definizione di sottrazione $-$

Usando l’addizione e l’opposto: $a-b=a+(-b)$.

Tricotomia

Definiamo $\ge$ come segue: $a\ge b⟺a-b\in \mathbb{N}$.

In $\mathbb{Z}$ vale la tricotomia, cioè $\forall a,b\in \mathbb{Z},(a\ge b)⟹(a<b)\wedge (a=b)\wedge (a>b)$

N.B.: $\exists n\in \mathbb{N}\forall x\in \mathbb{N}(n\le x)$ ma $\nexists z\in \mathbb{Z}\forall x\in \mathbb{Z}(z\le x)$, cioè $\mathbb{N}$ soddisfa il principio del minimo (o buon ordinamento), ma $\mathbb{Z}$ no. Ciò si dimostra con $\forall z\in \mathbb{Z}(z-1\in \mathbb{Z}\wedge z-1<z)⟹\nexists z\in \mathbb{Z}\forall x\in \mathbb{Z}(z\le x)$.

Compatibilità degli elementi di $\mathbb{Z}$ con $+,-,\cdot$

Per $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ vale che:

• $a<b⟹-b<-a$
• $a\le b\wedge c\le d⟹a+c\le b+d$
• $0<c\le d\wedge a<b⟹ac<bd$

Legge di cancellazione in $\mathbb{Z}$

Dagli assiomi si deduce che $a,b,c\in \mathbb{Z}\wedge a\ne 0\wedge ab=ac⟹b=c$

Dimostrazione

1. per assurdo supponiamo $b\ne c$,
2. per la proprietà distributiva di $\cdot$ $ab-ac=a(b-c)$,
3. per tricotomia assumiamo $b>c$, cioè $b-c>0$, cioè $b-c\ne 0$,
4. per definizione $a\ne 0$,
5. per l’unicità del neutro moltiplicativo $b-c\ne 0\wedge a\ne 0⟹a(b-c)\ne 0⟹ab\ne ac$,
6. per contraddizione dell’assurdo $b=c$.