successione

Una successione numerica è una qualsiasi sequenza infinita e ordinata di numeri reali in cui gli elementi possono al più coincidere tra loro. È una mappa che a un numero naturale associa un numero reale.

$a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ $n\mapsto a_n$ Una successione (considerandola come insieme di valori) si indica così:

${(a_n)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}$

• $a$ è il suo nome
• $n$ è il suo argomento

Esempi:

• $a_n=n$ $0,1,2,3,4,5,...$
• $a_n=2n$ $0,2,4,6,8,10,...$
• $a_n=(n+1{)}^{\text{n-esimo}}$ $2,3,5,7,11,13,17,...$
• $a_n=\frac{1}{n+1}$ $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},...$
• $f_n=(-1{)}^n$ $1,-1,1,-1,1,-1,...$ (successione “Federer-Nadal” 🗿)

Esempio con Fibonacci:

• $a_0=0$

• $a_1=1$

• $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ $0,1,1,2,3,5,8,13,\mathrm{21...}$

• forma esplicita: $a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{\sqrt{5}+1}{2})-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{\sqrt{5}-1}{2})$

definizioni e concetti matematici delle successioni

• infiniti e infinitesimi
• notazione asintotica
• notazione o-piccolo
• concetto di asintotico