(SCR) sistema completo di rappresentanti

Un sistema completo di rappresentanti o SCR di una relazione $\mathcal{R}$ è un insieme di sottoinsiemi $X^{\prime }\subset X$ (l’insieme sul cui prodotto cartesiano con se stesso è definita la relazione) tale che:

1. $\forall x,y\in X^{\prime }x=y⟺Cl(x)=Cl(y)$ e $x\ne y⟺Cl(x)\cap Cl(y)=\varnothing$
2. $\forall x\in X\exists x^{\prime }\in X^{\prime }$ con $x\in Cl(x^{\prime })$

“l’insieme $X^{\prime }$ scorre attraverso le classi di equivalenza/partizioni di $X$ e prende un elemento di ognuna”.

Esempio: possibili sistemi completi di rappresentanti della congruenza modulo 2 su $\mathbb{Z}$ sono $\{1,2\}$, $\{7,-10\}$ o qualsiasi insieme $\{x:2\mid x,y:2\nmid y\}$.

N.B.: le notazioni seguenti sono equivalenti.

• $Cl(x)=Cl(r)$
• $\overline{x}=\overline{r}$ (notazione tipica)
• $[x{]}_d=[y{]}_d$