sistema di equazioni lineari

Dato un campo $K$, un sistema lineare di $M$ equazioni e $n$ indeterminate a coefficienti in $K$, è un sistema di equazioni del tipo:

$$\ast =\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

Dove $b_{ij}$ sono termini costanti, $a_{ij}$ i coefficienti delle indeterminate e $x_j$ le indeterminate.

Risoluzione dei sistemi

Risolvere un sistema lineare $\ast$ vuol dire “descrivere” l’insieme delle sue soluzioni

$$\text{Sol}(\ast )=\left\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in K^n:\ast \text{eˋ verificato}\right\}$$

Se $\text{Sol}(\ast )=\varnothing$ allora si dice che il sistema è incompatibile o impossibile; in caso contrario si dice compatibile. Ad esempio $\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_1=1\end{array}$ è incompatibile.

• Un metodo di risoluzione dei sistemi lineari è il metodo di Gauss.

Notazione compatta con le matrici

Siano le matrici:

$$A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}\in {\mathcal{M}}_{m,n}(K)X:=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{n,1}(K)B:=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{m,1}(K)$$

• $A$ = matrice dei coefficienti delle indeterminate
• $X$ = vettore colonna (cioè matrice $n\times 1$) delle indeterminate
• $B$ = vettore colonna (cioè matrice $m\times 1$) delle costanti a destra dell’uguale

Il sistema $\ast$ si scrive:

$$AX=B,AX=\left(\begin{array}{c}⟨A_1,X⟩\\ ⋮\\ ⟨A_m,X⟩\end{array}\right)$$

Esempio

$$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2-3x_3+x_4=1\\ x_3+x_4=5\\ x_1-x_2-x_3-2x_4=0\end{array}$$ $$X=(x_1{x}_2{x}_3{x}_4)A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -3& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& -1& -1& -2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})B=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$$

Esercizio

$A\in G{L}_n(K)$ su $B=K^n$

$(\square )AX=BX=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

Claim: $\text{Sol}(\square )$ è un singleton.

1. $A$ è una matrice quadrata: $A\in G{L}_n(K)={\mathcal{M}}_{n,n}(K)⟹\exists A^{-1}\in G{L}_n(K)$ unicamente determinata, tale che $A^{-1}A=A{A}^{-1}=I_n$ (abbiamo usato il fatto che la matrice $A$ studiata è invertibile).
2. Consideriamo $AX=B$. Moltiplichiamo a sinistra per $A^{-1}$, quindi $A^{-1}AX=A^{-1}B\to X=A^{-1}B$.
3. $\text{Sol}(\square )=\{A^{-1}X\}$.