Determinante

Il determinante di una matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,2}(K)$ è definito come $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc\in K$

Il determinante delle matrici $3\times 3$ si può applicare la regola di Sarrus.

Lemma 1

Siano $A,B\in {\mathcal{M}}_{2,2}(K)$ allora $\det (AB)=\det (A)\det (B)$. Inoltre, se $A$ è invertibile ($\in G{L}_2(K)$) allora $\det (A^{-1})\in K^2:=\det (A{)}^{-1}$.

Lemma 2

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,2}(K)$ è invertibile $⟺\det (A)\ne 0$, ovvero $\exists A^{\prime }:A^{\prime }A=A{A}^{\prime }=I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Formula universale del determinante

Per $n>0$ esiste una nozione di determinante su ${\mathcal{M}}_n(K)$. Data una matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(K)A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$:

$$\det (A)=\sum _{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$$

Dove $\epsilon (\sigma )$ è la segnatura della permutazione $\sigma$ considerata a ogni iterazione della sommatoria.

Curiosità: da questa formula si ricava la regola di Sarrus.

Esempio con $n=2$

$$S_2=\left\{\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\right\}\equiv \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ $$\det (A)=\epsilon \left(\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)\right)a_{11}{a}_{22}+\epsilon \left(\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\right)a_{12}{a}_{21}=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

Lemma

Consideriamo l’applicazione $\det :{\mathcal{M}}_{n,n}(K)\to K$ con $\det$ definito dalla formula universale.

1. $\det (AB)=\det (A)\det (B)$.
2. $A\in G{L}_n(K)⟺\det (A)\ne 0$.
3. $G{L}_n(K)\stackrel{\det }{\to }{K}^X$ è un omomorfismo di gruppi. In particolare se $A\in G{L}_n(K)⟹\det (A^{-1})=\det (A{)}^{-1}$.