applicazione biiettiva o biiezione

Un’applicazione $X\stackrel{f}{\to }Y$ si dice biiettiva se:

• è sia suriettiva che iniettiva;
• alternativamente se e solo se $\forall y\in Y$, $f^{-1}(\{y\})$ è un singleton;
• è l’applicazione che ha ${\Delta }_x$ come grafo (definizione quasi inutile, solo per curiosità).

Esempio:

• $X=\{1,2,3\}$
• $Y=\{a,b,c\}$
• $\Gamma =\{(1,a),(2,b),(3,c)\}$
• $f=(X,Y,\Gamma )$

Ogni immagine inversa di ogni elemento dell’immagine è un singleton, quindi l’applicazione è iniettiva e si può invertire.

$g$, l’inversa di $y$ è $f=(Y,X,\{(a,1),(b,2),(c,3)\})$.

Dim: $f\text{biettiva}\to f\circ g=I{d}_y\wedge g\circ f=I{d}_x$

Supponiamo che ci sia un diagramma $X\stackrel{f}{\to }Y,Y\stackrel{g}{\to }X$.

con:

• condizione A: $f\circ g=I{d}_y$
• condizione B: $g\circ f=I{d}_x$

Ricordiamo che $I{d}_x=(X,X,\{(x,x),x\in X\})$, cioè l’applicazione biiettiva che mappa ogni elemento di un insieme a se stesso.

Dimostriamo che $f$ è suriettiva.

Sia $y\in Y$; poniamo $x=g(y)$. Allora applicando $f$ a entrambi i membri abbiamo $f(x)=f(g(y))=(f\circ g)(y)=I{d}_y=y⟹f^{-1}(y)\ne \varnothing$.

$\forall y\in Y$ si ottiene che $f$ è suriettiva.

Dimostriamo che $f$ è iniettiva.

Siano $x,x^{\prime }\in X:f(x)=f(x^{\prime })$

1. Applichiamo $g$ a entrambi i membri: $g(f(x))=g(f(x^{\prime }))$
2. Quindi $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x^{\prime })$
3. Quindi $I{d}_x(x)=I{d}_x(x^{\prime })$
4. Quindi $x=x^{\prime }$

Essendo $f$ iniettiva e suriettiva, $f$ è biiettiva. $\square$

---

$X\stackrel{f}{\to }Y,Y\stackrel{g}{\to }X$

Si dimostra che $g$ è unica. Si scrive $g=f^{-1}$ e $g$ si chiama l’inversa di $f$.

Esercizio 1: se $f$ è biiettiva allora $f^{-1}$ è biiettiva, ovvero $f^{-1}$ è biiettiva e $(f^{-1}{)}^{-1}=f$

Per dimostrare che $f^{-1}$ è biiettiva, bisogna dimostrare che è iniettiva e suriettiva.

$$X\stackrel{f^{-1}}{\to }Y$$

1. È noto che $\forall x\in X$, $f^{-1}(\{x\})$ è un singleton,
2. Quindi $f^{-1}$ è suriettiva perché $\forall x\in X\exists y\in Y:f(y)=x$,
3. E $f^{-1}$ è iniettiva perché $\forall y,y^{\prime }\in Y(f^{-1}(y)=f^{-1}(y^{\prime })⟹y=y^{\prime })$, dato che $f^{-1}(y)$ è un singleton.

Due funzioni $f$ e $g$ sono uguali se $X_f=X_g\wedge Y_f=Y_g\wedge {\Gamma }_f={\Gamma }_g$. Si dimostra che ciò vale per $(f^{-1}{)}^{-1}$ e $f$.