legge della probabilità totale

Caso particolare: Dato un evento $A$ di cui è difficile calcolare la probabilità, posso dividere l’evento $A$ in due eventi disgiunti ($B$ e $A-B=B^C$).

$$A=(A\cap B)\cup (A\cap B^C)$$

Usando la probabilità condizionata, si ricava che:

$$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(A\cap B^C)=\mathbb{P}(A\mid B)\cdot \mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(A\mid B^C)\cdot \mathbb{P}(B^C)$$

Esempio con esperimento a due fasi

È utile quando abbiamo un esperimento a due fasi.

Esempio: Lancio una moneta.

• Se esce $T$, lancio un dado.
• Se esce $C$, lancio 2 dadi.

Calcolare $\mathbb{P}(\text{la somma dei due numeri usciti eˋ 6})$ (ricorda: se esce $T$ viene lanciato un solo dado)

Sia $B=\{\text{esce T}\},B^C=\{\text{esce C}\}$

$$\underset{\frac{1}{6}}{\mathbb{P}(A\mid B)}\cdot \underset{\frac{1}{2}}{\mathbb{P}(B)}+\underset{\frac{5}{36}}{\mathbb{P}(A|B^C)}\cdot \underset{\frac{1}{2}}{\mathbb{P}(B^C)}=\frac{11}{72}$$