distribuzione geometrica

Lanciando una moneta truccata infinite volte, mi posso chiedere la probabilità di vedere la prima testa al lancio $k$.

Sia lo spazio campionario $\Omega =\{1,2,3,4,\dots \}={\mathbb{N}}^{\star }$

La probabilità di vedere la prima $T$ al lancio $k$ è

$$p_k=(1-p{)}^{k-1}\cdot p$$

Questa corrisponde alla probabilità della sequenza

$$\underset{k-1\text{volte}}{\underbrace{CCC\dots C}}T$$

Verifichiamo che $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\star }(p_k\in [0,1])\wedge {\sum }_{k=1}^{+\infty }{p}_k=1$:

1. La prima proprietà è verificata perché il prodotto di termini minori di 1 è minore di 1.
2. ${\sum }_{k=1}^{+\infty }{p}_k={\sum }_{k=1}^{+\infty }(1-p{)}^{k-1}\cdot p=p\cdot {\sum }_{k=1}^{+\infty }(1-p{)}^{k-1}=p\cdot {\sum }_{k=0}^{+\infty }(1-p{)}^k$ Abbiamo una serie geometrica di ragione $x=1-p$ se $p>0$.

N.B.: Se $p=\frac{1}{2}$ i pesetti diventano $p_k=(\frac{1}{2}{)}^{k-1}\cdot \frac{1}{2}=(\frac{1}{2}{)}^k$.