Esercizi 21 novembre

1.

L’insieme $\{x\in \mathbb{Z}:x\equiv 3\mathrm{mod}7\wedge x\equiv 1\mathrm{mod}5\}\subset \mathbb{Z}$

1. è vuoto: falso, perché contiene 4 (conseguenza del teorema cinese dei resti, 7 e 5 sono primi fra loro)
2. contiene 1 (falso, perché $1\not\equiv 3\mathrm{mod}7$)
3. è un sistema di rappresentanti $\mathrm{mod}35$ (falso, perché il SCR contiene 1)
4. è non vuoto (vero, perché contiene 4)

2.

Sia $G$ un gruppo in notazione moltiplicativa $H<G$.

1. Se $H$ è contenuto in tutti i sottogruppi di $G$ allora $H=\varnothing$ (falso per definizione di gruppo)
2. Se per ogni $x\in G$ e $h\in H$ si ha $xh=hx$ allora $G$ è abeliano (falso)
3. Se $H\ne 1_G$ allora $H=G$ (falso)
4. $G$ abeliano allora $\forall x\in G$ e $h\in H\exists h^{\prime }:xh=hx$ (vero)

3.

$\forall \sigma \in S_n$

1. $\exists n\ge 1:{\sigma }^n=1_{S_n}$ (vera)
2. ${\sigma }^n=1_{S_n}$ (falso)
3. $\sigma$ è un ciclo (falso)
4. $\sigma$ si decompone in prodotto di $n$ trasposizioni (falso)

4.

$n\in \mathbb{Z}$ arbitrario. $n,n+2$ sono:

1. sempre primi fra loro (falso)
2. tale che il loro MCD sia pari (falso)
3. sempre simultaneamente divisibili per almeno un primo (vero)
4. tale che il loro MCD $\mid 2$ (vero)

5.

$G$ è un gruppo, siano $H,H^{\prime }<G$

1. $H\cap H^{\prime }<G$ (vero)
2. $H\cup H^{\prime }<G$ (falso)
3. se $H\cap H^{\prime }<G$ allora $H\cap H=\varnothing$ (falso)
4. se $H\cap H^{\prime }<G$ allora $H\cap H^{\prime }$ singleton (falso)

6.

$H<G,G^{\prime }$

1. $H\approx G^{\prime }$
2. $\frac{G^{\prime }}{I}$ è ben definito ed è isomorfo al quoziente
3. $I<G$ isomorfo ad $H$
4. $\forall g\in G(g^{-1}Hg=H)$ (vero)