Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo oppure si può esprimere come un prodotto unico di numeri naturali.

$\forall a \in N^{⋆}$ , l’insieme $I_{a} = {p \in N : p \overset{e}{ˋ} primo con p ∣ a}$ (cioè la scomposizione in primi di $a$ ) è un insieme finito e inoltre

a = p primo \prod p^{v_{p} (a)}

dove l’applicazione $p \in P \mapsto v_{p} (a) \in N$ , con $a$ fissato, è l’applicazione che conta quante volte $p$ divide $a$ .

Essa quasi ovunque nulla perché ${p \in P : v_{p} (a) > 0}$ (insieme dei fattori primi di $a$ ) è finito.

Esempio: $a = 12$

$a = 18 = 3^{2} \cdot 2^{1}$

$v_{2} (12) = 1$
$v_{3} (12) = 2$
$v_{5} (12) = 0$
$v_{7} (12) = 0$
$v_{11} (12) = 0$
$\dots$

18 = p primo \prod p^{v_{p} (18)} = 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{0} \cdot 7^{0} \cdot 1 1^{0} \cdot \dots

Come può un prodotto essere ben definito se ha infiniti fattori? perché l’insieme ${p \in P : v_{p} (a) > 0}$

N.B.: È impossibile trovare una formula semplice per calcolare $v_{p} (a + b)$ in funzione di $v_{p} (a)$ e $v_{p} (b)$ .

Un test di primalità è un algoritmo (è impossibile trovare una formula chiusa) che riceve in input un numero naturale e determina se esso è primo o meno. Il test di primalità più comune è il crivello di Eratostene.

Calcolare MCD e mcm con le fattorizzazioni

todo

$a = \prod_{p}^{v_{p} (a)}$
$b = \prod_{p}^{v_{p} (b)}$

$MC D (a, b) = \prod_{p} p^{m i n (v_{p} (a), v_{p} (b))}$

Esiste un unico $m \in N^{⋆} :$

$a ∣ m \land b ∣ m$
se $m^{'} \in Z : a ∣ m^{'} \land b ∣ m^{'} \to m ∣ m^{'}$

Lemma: $ab \in Z \neq = 0$ . Si scrive $m c m (a, b) = m$ . Si chiama minimo comune multiplo

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Calcolare MCD e mcm con le fattorizzazioni

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