relazione di equivalenza associata a un'applicazione

$X\stackrel{f}{\to }Y$ Definiamo una relazione su $X$ nel modo seguente. Il simbolo che usiamo è $\sim$.

Ponendo per $x$, $x^{\prime }\in Xx\sim x^{\prime }⟺f(x)=f(x^{\prime })$.

Lemma: La relazione $\sim$ appena definita è una relazione d’equivalenza.

Dimostrazione:

1. $\sim$ è riflessiva. $x\in X⟹f(x)=f(x)⟺x\sim x$
2. $\sim$ è simmetrica. $x\sim x^{\prime }⟹f(x)=f(x^{\prime })⟹f(x^{\prime })=f(x)⟹x^{\prime }\sim x$.
3. $\sim$ è transitiva. $x\sim x^{\prime }\wedge x^{\prime }\sim x^{\prime \prime }⟹f(x)=f^{\prime }(x)\wedge f(x^{\prime })=f(x^{\prime \prime \prime })⟹f(x)=f(x^{\prime \prime })⟹x\sim x^{\prime \prime }$

Quindi $\sim$ è una relazione d’equivalenza.

Osservazione: l’applicazione $f$ è iniettiva $⟺(\sim )=(=)$.

Dimostrazione: Se $f$ è iniettiva, allora $x,x^{\prime }\in X,f(x)=f(x^{\prime })⟹x=x^{\prime }$ Ovvero, se $x\sim x^{\prime }⟹x=x^{\prime }$, sto quindi dicendo che $⟺(\sim )=(=)$. Questo dimostra che se $f$ è iniettiva $⟹(\sim )=(=)$