esempio di induzione

$\forall n\ge 1{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}=1-\frac{1}{n+1}$

Caso base

Verifichiamo il caso base per $n=1$:

$$\sum _{i=1}^1\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}.$$

Passo induttivo

Supponiamo che la formula sia vera per un certo $n$, cioè: ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}=1-\frac{1}{n+1}.$

Dobbiamo dimostrare che è vera anche per $n+1$: ${\sum }_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i(i+1)}={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}.$

Sostituendo l’ipotesi induttiva:

${\sum }_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i(i+1)}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Combiniamo i termini:

$$=1-\frac{(n+2-1)}{(n+2)(n+1)}=1-\frac{(n+1)}{(n+2)(n+1)}.$$

Semplificando:

$$=1-\frac{(n+2)-2}{(n+2)(n+2)}=1-\frac{2}{(n+2)(n+3)}.$$

Quindi, abbiamo:

$$=0-(0)=(0).$$

Ora, scriviamo il risultato finale in forma di frazione:

$$=0-(0)=(0).$$

Conclusione

Abbiamo dimostrato che se la formula è vera per $n$, allora è vera anche per $n+1$. Pertanto, per induzione, la formula

$$\sum _{i=0}^{n}i(i-3)=(0).$$

è vera per ogni $$ n \geq 0.