Scelta di k elementi da n

	con ripetizione	senza ripetizione
scelte con ordine (disposizioni)	disposizioni con ripetizioni consentite $n^{k}$	disposizioni senza ripetizioni $\frac{n !}{( n - k )!}$
scelte senza ordine (combinazioni)	combinazioni con ripetizioni consentite $\frac{( k + n - 1 )!}{k ! ( n - 1 )!}$	combinazioni senza ripetizioni $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Indipendenza e probabilità condizionata

indipendenza di due eventi: $A ⊥ B ⟹ P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$
indipendenza di tre eventi: $A ⊥ B ⊥ C ⟹ P (A \cap B \cap C) = P (A) \cdot P (B) \cdot P (C)$
probabilità condizionata: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
legge della probabilità totale: $P (A) = P (A ∣ B) \cdot P (B) + P (A ∣ B^{c}) \cdot P (B^{c})$
teorema di Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A ) \cdot P ( A )}{P ( B ∣ A ) \cdot P ( A ) + P ( B ∣ A ^{c} ) \cdot P ( A ^{c} )}$

Distribuzione	Probabilità	$E (X)$	$Var (X)$
distribuzione di Bernoulli	${p^{x}, (1 - p)^{1 - x}}$ per $x \in {0, 1}$	$p$	$p (1 - p)$
distribuzione binomiale	$p_{k} = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	$n \cdot p$	$n \cdot p (1 - p)$
distribuzione geometrica	$p_{k} = (1 - p)^{k - 1} p$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1 - p}{p ^{2}}$
distribuzione di Poisson 🐟	$p_{k} = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}$	$λ$	$λ$

$\sum_{k = 0}^{\infty} n^{k} = \frac{1}{1 - n}$

$E (X) = \sum x \cdot P (X = x)$ $X ⊥ Y ⟹ E (X \cdot Y) = E (X) \cdot E (Y)$

$Var (X) = E ((X - E (X))^{2}) = \sum (x - E (X))^{2} p_{x} = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$

N.B.: I valori vanno al quadrato, le operazioni sono sui valori, non sui pesi.

$Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$

$Cov (X, Y + Z) = Cov (X, Y) + Cov (X, Z)$

$Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov (X, Y)$

$G_{X} (t) = E (e^{tX}) per t \in (0, 1] = \sum t^{x} P (X = x)$

$G_{X} (t) = E (e^{tX}) ⟹ G_{X}^{'} (1) = E (X)$

I grafici di ripartizione hanno $0$ a sinistra e il valore massimo $1$ a destra: $(P (X < x)) = F_{X}$

$f (x)$ = funzione di densità di probabilità.
Funzione di ripartizione su un intervallo $A$ : $F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{intervallo A} f (x) d x$
Valore Atteso: $E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot f (x) d x$

Distribuzione	Densità di Probabilità $f (x)$	$E (X)$	$Var (X)$
legge uniforme	$f (x) = \frac{1}{b - a} I_{[a, b]} (x)$	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{( a - b ) ^{2}}{12}$
legge esponenziale	$f (x) = {λ e^{- λ x} 0 x \geq 0 x < 0$	$\frac{1}{λ}$	$\frac{1}{λ ^{2}}$
legge di Cauchy	$f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}$
legge Gaussiana standard $N (0, 1)$	$f (x) = \frac{e ^{- \frac{x ^{2}}{2}}}{2 π}$	$0$	$1$
legge Gaussiana generica $N (μ, σ^{2})$	$f (x) = \frac{e ^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}}{2 π σ ^{2}}$	$μ$	$σ^{2}$

N.B.: Nella gaussiana generica, $μ$ trasla orizzontalmente e $σ^{2}$ dilata orizzontalmente e contrae verticalmente.