distribuzione di Poisson 🐟

La distribuzione di Poisson con parametro $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}$ esprime la probabilità che avvengano $k$ di eventi in un intervallo di tempo se il valore atteso del numero di eventi (indipendenti) che normalmente accadono nello stesso intervallo di tempo è $\lambda$.

È la misura di probabilità sullo spazio campionario $\Omega =\mathbb{N}$ definita dai pesetti

$$p_k=\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot e^{-\lambda }k\in \mathbb{N},\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}$$

Verifichiamo che $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\star }(p_k\in [0,1])\wedge {\sum }_{k=1}^{+\infty }{p}_k=1$:

1. La prima proprietà ($\forall p,p>0$) è verificata immediatamente.
2. ${\sum }_{k=0}^{+\infty }{p}_k={\sum }_{k=0}^{+\infty }\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}=e^{-\lambda }{\sum }_{k=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}\underset{\text{Taylor}}{=}{e}^{-\lambda }{e}^{\lambda }=1✓$

Intuizione

Seguendo l’esempio dei lanci di monete truccate, la distribuzione di Poisson definisce la proporzione di teste in infiniti lanci di monete con probabilità $p$.

Con un numero finito di lanci avremo la probabilità di testa data da

$$p=\frac{\lambda }{N}$$

Intuitivamente mi aspetto $N\frac{\lambda }{N}=\lambda$ teste.

Sia $p_k\left(N,\frac{\lambda }{N}\right):=\text{probabilitaˋ di vedere k teste in N lanci, con}p=\frac{\lambda }{N}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right){\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{N}\right)}^l\cdot (1-\frac{\lambda }{N}{)}^{N-k}$

Abbiamo semplicemente usato la distribuzione binomiale.

Ora basta verificare con un limite tendente a infinito che

$$p_k\left(N,\frac{\lambda }{N}\right)\stackrel{N\to \infty }{⟶}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$$